[논문 리뷰] Some sharp results on the generalized Tur\'an numbers

Jie Ma, Yu Qiu|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 04.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 11인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 χ(T) < χ(H)일 때, H-free인 n-정점 그래프에서 T의 복제 수의 최댓값을 다루는 일반화된 툴란 수 ex(n, T, H)에 대해 날카운 추정을 제공한다. 분해 가족과 biex(n, H) 함수를 도입함으로써 ex(n, K_m, H) = N(T_r(n), K_m) + biex(n, H) · Θ(n^{m−2})를 증명하며, 알론과 시켈만의 o(n^m) bound에서 오차 항을 정밀화한다. 이 결과는 에르되시의 고전적 정리의 확장이며, 간선 임계인 H에 대해 툴란 그래프 T_r(n)이 유일하게 최대화함을 증명한다.

ABSTRACT

For graphs $T, H$, let $ex(n,T,H)$ denote the maximum number of copies of $T$ in an $n$-vertex $H$-free graph. In this paper we prove some sharp results on this generalization of Tur\\'an numbers, where our focus is for the graphs $T,H$ satisfying $\\chi(T)&lt;\\chi(H)$. This can be dated back to Erd\\H{o}s, where he generalized the celebrated Tur\\'an's theorem by showing that for any $r\\geq m$, the Tur\\'an graph $T_r(n)$ uniquely attains $ex(n,K_m,K_{r+1})$. For general graphs $H$ with $\\chi(H)=r+1&gt;m$, Alon and Shikhelman showed that $ex(n,K_m,H)=\\binom{r}{m}(\\frac{n}{r})^m+o(n^m)$. Here we determine this error term $o(n^m)$ up to a constant factor. We prove that $ex(n,K_m,H)=\\binom{r}{m}(\\frac{n}{r})^m+biex(n,H)\\cdot\\Theta(n^{m-2})$, where $biex(n,H)$ is the Tur\\'an number of the decomposition family of $H$. As a special case, we extend Erd\\H{o}s' result, by showing that $T_r(n)$ uniquely attains $ex(n,K_m,H)$ for any edge-critical graph $H$. We also consider $T$ being non-clique, where even the simplest case seems to be intricate. Following from a more general result, we show that for all $s\\leq t$, $T_2(n)$ maximizes the number of $K_{s,t}$ in $n$-vertex triangle-free graphs if and only if $t&lt;s+\\frac12+\\sqrt{2s+\\frac14}$.

연구 동기 및 목표

• 알론과 시켈만의 일반화된 툴란 수 ex(n, K_m, H)에서 오차 항 o(n^m)을 정밀한 Θ(n^{m−2}) 요소로 개선하는 것.
• χ(H) = r+1 > m일 때, ex(n, K_m, H)의 정확한 점근적 행동을 분해 가족 F_H와 biex(n, H) 함수를 도입하여 규명하는 것.
• H가 간선 임계일 경우, H-free 그래프에서 K_m 복제 수를 최대화하는 툴란 그래프 T_r(n)이 유일함을 증명하는 것.
• 클리크 T가 아닌 완전 다중분할 그래프 T, 특히 K_{s,t}에 대해 삼각형 없는 그래프에서의 분석을 확장하는 것.
• 특히 T가 클리크가 아닐 경우, K_{r+1}-free 그래프에서 T-복제를 최대화하는 그래프의 극값 구조를 조사하는 것.

제안 방법

• H의 (r+1)-색칠에서 r−1개의 색 클래스를 제거하여 얻는 모든 이분 그래프의 집합을 H의 분해 가족 F_H로 정의한다.
• F_H의 모든 그래프를 부분그래프로 포함하지 않는 n-정점 그래프에서의 간선 수의 최댓값을 biex(n, H)로 정의한다.
• 안정성 결과(정리 1.4)를 확립: G가 H-free이고 T_r(n)과 거의 같은 수의 K_m 복제를 포함한다면, G는 T_r(n)의 O(n²) 간선 변형이다.
• 하한을 구성하기 위해, biex(n, H) 개의 간선을 가진 F_H-free 그래프 F를 T_r(n)의 가장 큰 부분에 삽입함으로써, G가 여전히 H-free이고 K_m 복제 수가 Ω(biex(n, H) · n^{m−2}) 증가하도록 보장한다.
• 코바리–소스–툴란 정리를 사용하여 biex(n, H) = O(n^{2−α_H}) (α_H > 0)로 유계를 설정함으로써 오차 항을 O(n^{m−α_H})로 개선한다.
• 극값 그래프 이론과 안정성 기법을 적용하여, 삼각형 없는 그래프에서 완전 다중분할 그래프 T = K_{s,t}에 대해 극값 그래프의 구조를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 χ(H) = r+1 > m일 때, ex(n, K_m, H)의 오차 항의 정확한 점근적 순서는 무엇인가? 특히 o(n^m)을 초월하여.
• RQ2 어떤 그래프 H에 대해 툴란 그래프 T_r(n)이 H-free 그래프에서 K_m 복제 수를 유일하게 최대화하는가?
• RQ3 T가 클리프가 아닐 경우, 예를 들어 삼각형 없는 그래프에서 K_{s,t}를 최대화할 때 극값 그래프의 구조는 어떻게 변화하는가?
• RQ4 s와 t에 대해 어떤 조건에서 완전 이분 그래프 K_{s,t}가 삼각형 없는 n-정점 그래프 전체에서 T_2(n)에서 최대화되는가?
• RQ5 T가 완전 다중분할 그래프 또는 홀수 사이클일 경우, ex(n, T, K_{r+1})의 극값 그래프는 어떻게 특징지을 수 있는가?

주요 결과

• ex(n, K_m, H)의 오차 항은 정확히 Θ(biex(n, H) · n^{m−2})이며, 여기서 biex(n, H)는 H의 분해 가족 F_H에 대한 극값 수이다.
• χ(H) = r+1 > m인 간선 임계 H에 대해 biex(n, H) = 0 이므로 ex(n, K_m, H) = N(T_r(n), K_m)이며, T_r(n)은 유일한 극값 그래프이다.
• 이 결과는 에르되시의 정리의 일반화이다: T_r(n)은 K_{r+1}-free 그래프에서 K_m 복제 수를 유일하게 최대화하며, H가 χ(H) = r+1인 간선 임계 그래프일 경우에도 성립한다.
• 삼각형 없는 그래프에서 K_{s,t}-최대화에 대해, T_2(n)이 최적임은 t < s + 1/2 + √(2s + 1/4)일 때에만 성립하며, 이는 날카운 임계 조건이다.
• 안정성 결과(정리 1.4)는 H-free 그래프에서 거의 최대의 K_m 수를 포함하는 그래프는 항상 T_r(n)의 소규모 변형(o(n²) 간선)이어야 한다는 것을 보여준다.
• 분석 결과, 삼각형 없는 설정에서 T = K_{s,t}에 대한 극값 그래프는 t ≥ s + 1/2 + √(2s + 1/4)일 경우 항상 이분 그래프가 아니며, 이는 이분 극값을 초월한 구조적 복잡성을 시사한다.