[논문 리뷰] The Siegel variance formula for quadratic forms

Naser T. Sardari|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 17.

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한 줄 요약

이 논문은 오실레이터 표현과 시겔 모듈라 형식을 이용하여 이차형식에 대한 매끄러운 분산 합을 도입하고, 푸리에 계수의 분산에 대한 정확한 공식을 유도한다. n=1일 때 분산에 대한 날카운 상한을 확립하고, 이는 정수의 단일형 래티스에 의한 표현에서의 컷오프 현상 증명과, 양의 정부호 d차원 포물선에서 p-정수점에 대한 최적의 디오판틴 승수 경계 확보에 응용된다.

ABSTRACT

We introduce a smooth variance sum associated to a pair of positive definite symmetric integral matrices $A_{m imes m}$ and $B_{n imes n}$, where $m\geq n$. By using the oscillator representation, we give a formula for this variance sum in terms of a smooth sum over the square of a functional evaluated on the $B$-th Fourier coefficients of the vector valued holomorphic Siegel modular forms which are Hecke eigenforms and obtained by the theta transfer from $O_{A_{m imes m}}$. By using the Ramanujan bound on the Fourier coefficients of the holomorphic cusp forms, we give a sharp upper bound on this variance when $n=1$. As applications, we prove a cutoff phenomenon for the probability that a unimodular lattice of dimension $m$ represents a given even number. This gives an optimal upper bound on the sphere packing density of almost all even unimodular lattices. Furthermore, we generalize the result of Bourgain, Rudnick and Sarnak~\cite{Bourgain}, and also give an optimal bound on the diophantine exponent of the $p$-integral points on any positive definite $d$-dimensional quadric, where $d\geq 3$. This improves the best known bounds due to Ghosh, Gorodnik and Nevo~\cite{GGN} into an optimal bound.

연구 동기 및 목표

• m ≥ n인 양의 정부호 대칭 정수 행렬 A와 B의 쌍에 대해 매끄러운 분산 합을 개발하는 것.
• O_A로부터의 시그마 이론을 통한 헤키 고유형이 되는 벡터값 해석적 시겔 모듈라 형식의 푸리에 계수를 통해 이 분산을 표현하는 공식을 도출하는 것.
• n=1일 때, 층형식의 푸리에 계수에 대한 라마누잔 경계를 이용해 분산에 대한 날카운 상한을 확립하는 것.
• 분산 공식을 이용해 단일형 래티스가 주어진 짝수 정수를 표현할 확률에서 컷오프 현상이 발생하는지 증명하는 것.
• 부르가인-루드니크-사르나크의 결과를 일반화하고, 양의 정부호 d차원 포물선에서 p-정수점에 대한 최선의 알려진 디오판틴 승수 경계를 향상시키는 것 (d ≥ 3).

제안 방법

• m ≥ n인 m×m 양의 정부호 대칭 정수 행렬 A와 n×n 행렬 B의 쌍에 대해 매끄러운 분산 합을 도입하는 것.
• 오실레이터 표현을 사용하여 분산 합을 벡터값 해석적 시겔 모듈라 형식의 B-번째 푸리에 계수에 대한 함수값의 제곱과 연결하는 것.
• 시그마 이론을 적용하여 O_A로부터 헤키 고유형을 얻는 것.
• 해석적 층형식의 푸리에 계수에 대한 라마누잔 경계를 활용하여 n=1일 때 분산에 대한 날카운 상한을 도출하는 것.
• 분산 공식을 사용하여 시겔 질량 측도 하에서 단일형 래티스에 의한 정수 표현 확률을 분석하는 것.
• 분산 공식을 적용하여 d ≥ 3개 변수에서 양의 정부호 포물선에서 p-정수점에 대한 디오판틴 승수의 최적 경계를 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시겔 모듈라 형식을 통해 이차형식의 매끄러운 분산 합에 대한 정확한 공식은 무엇인가요?
• RQ2 푸리에 계수에 대한 라마누잔 경계는 n=1일 때 분산에 대한 날카운 상한을 어떻게 도출할 수 있나요?
• RQ3 차원 m인 홀수(또는 짝수) 단일형 래티스가 주어진 홀수(또는 짝수) 정수를 표현할 확률에서 컷오프 현상이 발생합니까?
• RQ4 d차원 양의 정부호 포물선에서 p-정수점에 대한 디오판틴 승수는 최적의 경계로 향상시킬 수 있나요?
• RQ5 분산 공식은 거의 모든 짝수 단일형 래티스의 구의 밀도에 어떤 영향을 미치나요?

주요 결과

• 논문은 O_A의 시그마 이론으로부터 유도된 헤키 고유형의 B-번째 푸리에 계수를 통해 시겔 분산 합의 완전한 공식을 확립한다.
• n=1일 때, 차원 m인 단일형 래티스가 주어진 짝수 정수 2q를 표현할 확률에 대해 순서 5113^(-t)의 날카운 상한을 도출한다. 컷오프는 q ~ m/(2πe)에서 발생한다.
• 컷오프 현상이 확인됨: q ≤ m/(2πe) + (0.5/πe)log(m) - t - 1일 때 표현 확률은 ≤ 5113^(-t)이며, q ≥ m/(2πe) + (1.6/πe)log(m) + t일 때는 ≥ 1 - 5113^(-t)이다. 여기서 t = o(m).
• 거의 모든 짝수 단일형 래티스의 구의 밀도는 μ₀-확률 1 + O(m^{-δ+ε})를 가지며, o(m^{2+ε}2^{-m})로 표현된다. 여기서 δ > 0, ε > 0이다.
• 모든 양의 정부호 d차원 포물선(d ≥ 3)에서 p-정수점에 대한 디오판틴 승수는 최적의 경계로 제한되며, 이는 이전 최선의 경계인 고프-고로드니크-네보의 결과를 향상시킨다.
• 추측 1.2는 큰 m에 대해 모든 짝수 정수 2q ≥ (1+ε)m/(2πe)가 모든 짝수 단일형 래티스에 의해 표현 가능하다고 제안하며, 이는 이러한 래티스의 구의 밀도가 (1+ε)^m 2^{-m}임을 시사한다.