[논문 리뷰] The single equality $A^{*n}A^n = (A^*A)^n$ does not imply the quasinormality of weighted shifts on rootless directed trees

Paweł Pietrzycki|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 23.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 모든 정수 $ n \geq 2 $에 대해, 하나의 분기점이 있는 루트리스 directed tree 위에서 유계이고 비준정적(weighted shift)인 가중치를 부여한 이동을 구성하며, 이는 단일 항등식 $ A^{*n}A^n = (A^*A)^n $를 만족함을 보여, 이 조건이 루트리스 설정에서 준정성(quasinormality)을 함의하지는 않음을 입증한다. 또한 이러한 예가 $ \sigma $-유한 측도 공간 위의 $ L^2 $-공간에서의 합성 연산자(class) 내부에도 존재함을 보여준다.

ABSTRACT

It is proved that each bounded injective bilateral weighted shift $W$ satisfying the equality $W^{*n}W^{n}=(W^{*}W)^{n}$ for some integer $n\geq 2$ is quasinormal. For any integer $n\geq 2$, an example of a bounded non-quasinormal weighted shift $A$ on a rootless directed tree with one branching vertex which satisfies the equality $A^{*n}A^{n}=(A^{*}A)^{n}$ is constructed. It is also shown that such an example can be constructed in the class of composition operators in $L^2$-spaces over $σ$-finite measure spaces.

연구 동기 및 목표

• 루트리스 directed tree 위의 가중치 이동에 대해, 단일 항등식 $ A^{*n}A^n = (A^*A)^n $가 준정성을 함의하는지 여부에 대한 열린 질문을 해결하기 위해.
• 고정된 $ n \geq 2 $에 대해, 하나의 분기점이 있는 루트리스 directed tree 위에서 유계이고 비준정적인 가중치 이동을 명시적으로 구성하기 위해.
• 이러한 구성 결과를 $ \sigma $-유한 측도 공간 위의 $ L^2 $-공간에서의 합성 연산자 클래스로 확장하기 위해.
• 유계이고 단사인 양방향 가중치 이동에서는 동일한 항등식이 준정성을 함의하는 것으로 알려진 사실과 대비하기 위해.

제안 방법

• 재귀 관계를 사용하여, 하나의 분기점이 있는 루트리스 directed tree $ T_{\infty} $ 위에서 가중치 수열 $ \{\gamma_k\}_{k=0}^\infty $를 정의함으로써, 단일 분기점이 있는 루트리스 directed tree 위의 가중치 이동 $ S_\lambda $를 구성한다.
• 매개수 $ q \in \mathbb{Q} \cap (0,1) $ 및 $ c \in \mathbb{Q} \cap (0,\infty) $를 갖는다. 이들 매개수는 특정 대수적 조건을 만족하며, $ k \in \mathbb{N} $에 대해 $ \alpha_k = \sqrt{k^{n-1} q^{k-1}} $ 및 $ \beta_k = \sqrt{\frac{1}{k} c^{\frac{1}{n-1}}} $로 정의된 가중치 수열을 정의한다.
• 조건 (5.10)과 (5.11)을 도입하여 $ (S_\lambda^* S_\lambda)^n = S_\lambda^{*n} S_\lambda^n $를 확보하면서도, 모든 $ p \neq n $에 대해 $ (S_\lambda^* S_\lambda)^p \neq S_\lambda^{*p} S_\lambda^p $임을 보장한다. 이를 위해 $ S_{-1}(q) = -\frac{\ln(1-q)}{q} $의 초월성(transcendence)을 활용한다.
• 모든 비영인 가중치를 갖는 루트리스 directed tree 위의 가중치 이동은 $ L^2 $-공간 위의 합성 연산자와 유니터리 동치임을 이용하여, 이 예를 해당 클래스로 이전할 수 있다.
• 재귀 관계(정리 5.1)를 사용하여 수열 $ \{\gamma_k\} $를 정의함으로써, 유계성과 증명에 핵심적인 대수적 성질을 보장한다.
• 레마 5.2와 추론 3.2를 적용하여, 특정 합 $ S_m(q) $가 대수적 또는 초월적임을 입증함으로써, 비준정성 증명에서 모순을 이끌어내는 데 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 루트리스 directed tree 위의 가중치 이동에 대해, $ n \geq 2 $일 때 단일 항등식 $ A^{*n}A^n = (A^*A)^n $가 준정성을 함의하는가?
• RQ2 루트리스 directed tree 위에서 하나의 분기점이 있고, 유계이며 비준정적인 가중치 이동이 어떤 $ n \geq 2 $에 대해 $ A^{*n}A^n = (A^*A)^n $를 만족할 수 있는가?
• RQ3 이러한 예를 $ \sigma $-유한 측도 공간 위의 $ L^2 $-공간에서의 합성 연산자 클래스 내에서 구성할 수 있는가?
• RQ4 유계이고 단사인 양방향 가중치 이동과 루트리스 directed tree 위의 가중치 이동 간에 항등식 $ A^{*n}A^n = (A^*A)^n $의 행동은 어떻게 다를까?
• RQ5 단일 $ n $에 대해서만 항등식이 성립하도록 보장하기 위해 필요한 $ S_m(q) $의 대수적 및 초월적 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 정수 $ n \geq 2 $에 대해, 하나의 분기점이 있는 루트리스 directed tree 위에서 유계이고 비준정적인 가중치 이동 $ A $가 존재하여 $ A^{*n}A^n = (A^*A)^n $를 만족한다.
• 구성된 이동은 모든 $ p \in \{2,3,\ldots\} \setminus \{n\} $에 대해 $ (A^*A)^p \neq A^{*p}A^p $임을 만족하며, 이는 이 조건이 이 설정에서 준정성을 함의하지 않음을 입증한다.
• 이 예는 $ q \in \mathbb{Q} \cap (0,1) $, $ c \in \mathbb{Q} \cap (0,\infty) $이며, $ (S_{n-1}(q))^n = c S_0(q) $ 및 $ c^{k/(n-1)} \notin \mathbb{Q} $ (모든 $ k = 1,\ldots,n-2 $에 대해)를 만족하는 매개수를 갖는 $ \alpha_k = \sqrt{k^{n-1} q^{k-1}} $ 및 $ \beta_k = \sqrt{\frac{1}{k} c^{\frac{1}{n-1}}} $ 수열을 사용하여 구성된다.
• 재귀 관계로 정의된 수열 $ \{\gamma_k\}_{k=0}^\infty $는 유계이며, 대수적 수로 이루어져 있어, 가중치 이동이 $ \ell^2(V_\infty) $ 위에서 유계이고 잘 정의됨을 보장한다.
• 이 구성은 $ S_{-1}(q) = -\frac{\ln(1-q)}{q} $의 초월성을 바탕으로 하며, 만약 항등식이 $ p = n+1 $ 또는 $ p > n+1 $일 때도 성립한다면 모순이 발생하므로 이러한 경우를 배제한다.
• 이 예는 유니터리 동치를 통해 $ L^2 $-공간의 합성 연산자로 확장되며, 이러한 연산자 역시 준정성이 아니지만 단일 항등식을 만족할 수 있음을 보여준다.