[논문 리뷰] The stochastic permanence of malaria, and the existence of a stationary distribution for a class of malaria models

Divine Wanduku|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 08.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 33인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 전염성 및 사망률의 랜덤 변동성을 독립적인 화이트 노이즈 과정을 통해 포함하는 확률적 미분 방정식 모델의 일군을 제안한다. 리아푸노프 함수 기법과 국소 마틴갈 기법을 사용하여, 확률적 영속성과 유일한 정적 분포 존재 조건을 확립하며, 특히 자연 사망률에서 기인하는 높은 노이즈 강도가 시스템을 불안정하게 만들고 멸종 위험을 증가시킬 수 있음을 보여준다. 수치 시뮬레이션을 통해 만성 상태 근처의 질병 상태 정적 분포를 근사한다.

ABSTRACT

This paper investigates the stochastic permanence of malaria and the existence of a stationary distribution for the stochastic process describing the disease dynamics over sufficiently longtime. The malaria system is highly random with fluctuations from the disease transmission and natural deathrates, which are expressed as independent white noise processes in a family of stochastic differential equation epidemic models. Other sources of variability in the malaria dynamics are the random incubation and naturally acquired immunity periods of malaria. Improved analytical techniques and local martingale characterizations are applied to describe the character of the sample paths of the solution process of the system in the neighborhood of an endemic equilibrium. Emphasis of this study is laid on examination of the impacts of (1) the sources of variability- disease transmission and natural death rates, and (2) the intensities of the white noise processes in the system on the stochastic permanence of malaria, and also on the existence of the stationary distribution for the solution process over sufficiently long time. Numerical simulation examples are presented to illuminate the persistence and stochastic permanence of malaria, and also to numerically approximate the stationary distribution of the states of the solution process.

연구 동기 및 목표

• 전염성 및 자연 사망률의 환경적 노이즈가 존재하는 상황에서 말라리아의 확률적 영속성을 분석하기 위해.
• 장기적인 시간 간격 동안 확률적 말라리아 과정에 대해 정적 분포 존재 여부를 조사하기 위해.
• 질병 전파 및 자연 사망률에서 기인하는 노이즈 강도가 질병 지속 가능성과 분포에 미치는 영향을 검토하기 위해.
• 모델 내 감염 가능 인구, 잠복기 인구, 감염자, 회복자 인구의 정적 분포를 수치적으로 근사하기 위해.
• 비선형 감염률과 랜덤 지연의 영향이 장기적 질병 역학에 미치는 영향 평가하기 위해.

제안 방법

• 일반적인 비선형 감염 함수 G를 포함하는 이토-두브 유형의 확률적 미분 방정식 가족을 설정하여 말라리아 전파를 모델링한다.
• 질병 전파 및 자연 사망률의 랜덤 변동성을 표현하기 위해 독립적인 화이트 노이즈 과정을 도입한다.
• 표본 경로 행동을 잠재적 만성 상태 균형 근처에서 분석하기 위해 리아푸노프 함수 기법과 국소 마틴갈 특성화 기법을 적용한다.
• 다양한 노이즈 강도 및 파라미터 조합 하에서 확률적 과정의 궤적을 추적하기 위해 수치 시뮬레이션을 사용한다.
• 다수의 실현값을 기반으로 질병 상태의 정적 분포를 근사하기 위해 앙상블 시뮬레이션을 활용한다.
• 노이즈 원천과 강도가 장기적 시스템 안정성과 멸종 위험에 미치는 영향을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전염성 및 사망률의 랜덤 변동성 존재하에 말라리아가 어떤 조건에서 확률적 영속성을 유지할 수 있는가?
• RQ2 장기적인 시간 간격 동안 확률적 말라리아 모델에 대해 유일한 정적 분포가 존재하는가?
• RQ3 전파와 자연 사망률에서 기인하는 노이즈 강도가 서로 다를 경우, 말라리아의 지속 가능성과 분포에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 비선형 감염률과 랜덤 지연이 질병의 장기적 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 명시적 해가 존재하지 않을 경우 질병 상태의 정적 분포를 수치적으로 근사할 수 있는가?

주요 결과

• 특히 자연 사망률에서 기인하는 화이트 노이즈 과정의 높은 강도는 시스템을 만성 상태 균형에서 더 멀리 떨어뜨리며, 인구 멸종 위험을 증가시킨다.
• 주어진 파라미터 조합 하에서 감염 가능 인구의 정적 분포는 약간 대칭적이며, 중심(앙상블 평균)이 [6.5, 8.0] 구간 내에 있다.
• 잠복기, 감염자, 회복자 계열의 정적 분포 역시 약간 대칭적이며, 중심은 각각 [2.45, 2.85], [2.8, 3.6], [0.95, 1.90] 구간 내에 있다.
• 주어진 시스템 파라미터 세트에 대해 정적 분포는 유일하지만, 그 통계적 성질(예: 평균, 분산)은 파라미터 값에 따라 변한다.
• 수치 시뮬레이션 결과, 전파율에서 기인하는 노이즈보다 자연 사망률에서 기인하는 노이즈가 더 강한 불안정성 효과를 가진다.
• 모델는 중간 수준의 노이즈에서는 말라리아가 확률적으로 지속될 수 있음을 확인하였으며, 높은 노이즈 강도는 지속 가능성 가능성을 크게 감소시킨다.