[논문 리뷰] The sum of digits function of the base phi expansion of the natural numbers

Michel Dekking|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 25.

semigroups and automata theory참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 자연수의 밑 φ 전개에서 자릿수의 합을 2로 나눈 나머지로 정의된 함수가 투-모르스 수열과 유사한 성질을 가진 모르픽 수열임을 증명한다. 이 수열은 8개의 문자로 구성된 알파벳 위에서 정의된 자기사상의 고정점으로 생성되며, 0과 1의 빈도가 모두 정확히 1/2임을 보이며, 결정론적 생성 방식임에도 불구하고 허구적 구조를 보임을 입증한다.

ABSTRACT

In the base phi expansion any natural number is written uniquely as a sum of powers of the golden mean with digits 0 and 1, where one requires that the product of two consecutive digits is always 0. In this paper we show that the sum of digits function modulo 2 of these expansions is a morphic sequence. In particular we prove that --- like for the Thue-Morse sequence --- the frequency of 0's and 1's in this sequence is equal to 1/2.

연구 동기 및 목표

• 자연수의 밑 φ 전개에서 자릿수의 합을 2로 나눈 나머지 함수의 역학적 및 구조적 성질을 조사한다.
• 이 수열이 균일한 자릿수 빈도와 같은 허구적 특성을 보이는지 여부를 규명한다.
• 자리수에서의 사전을 이용한 고정점의 고정점으로서의 수열을 생성하기 위해 자기사상의 구축을 통해 수열의 모르픽 구조를 확립한다.
• 수열 내 모든 길이 2의 부분문자열의 자연 밀도를 계산하여 통계적 균일성을 평가한다.

제안 방법

• 황금률 φ = (1+√5)/2를 사용하여 자연수의 밑 φ 전개를 정의하며, 자릿수는 0과 1이며 연속된 1이 없도록 한다.
• 자릿수의 합 함수 sβ(N)과 그 2로 나눈 나머지 xβ(N) = sβ(N) mod 2를 도입한다.
• 루카스 수 Lk로 정의된 루카스 간격 Λn = [L2n, L2n+1]과 Λ2n+1 = [L2n+1+1, L2n+2−1]으로 자연수를 분할한다.
• 루카스 수 전개의 성질과 역 문자를 포함한 단어 대수학적 성질을 바탕으로 각 간격 내에서 β(N)에 대한 재귀 관계를 유도한다.
• 8개의 문자로 구성된 알파벳 A = {1,…,8} 위에서 정의된 자기사상 τ를 정의하여 수열의 구조를 재귀적으로 생성하며, 거울 대칭성 τμ = μτ를 만족한다.
• 고정점 t에 대한 고정점으로부터 수열 xβ를 유도하기 위해 문자에서 문자로의 코딩 λ: A → {0,1}를 적용하여 xβ = λ(t)를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 밑 φ 전개에서 자릿수의 합을 2로 나눈 나머지는 모르픽 수열인가?
• RQ2 이 수열에서 0과 1의 자연 밀도는 각각 얼마인가?
• RQ3 길이 2의 부분문자열(00, 01, 10, 11)이 허구적 행동을 반영하는 빈도로 나타나는가?
• RQ4 이 수열은 코딩 지도를 통해 자기사상의 고정점으로 생성될 수 있는가?
• RQ5 자기사상 τ의 거울 대칭성은 0과 1의 균형 잡힌 빈도를 암시하는가?

주요 결과

• 수열 xβ(N) = sβ(N) mod 2는 8개의 문자로 구성된 알파벳 위에서 정의된 자기사상 τ의 고정점의 문자에서 문자로의 이미지로 생성되는 모르픽 수열이다.
• xβ에서 0과 1의 빈도는 모두 정확히 1/2이며, 균일 분포가 확인된다.
• xβ에서 부분문자열 00과 11의 빈도는 1/10√5 ≈ 0.2236이며, 01과 10의 빈도는 각각 1/2 − 1/10√5 ≈ 0.2764이다.
• 자기사상 τ는 거울 대칭성(τμ = μτ)을 가지며, 코딩 λ는 λμ = λ̄를 만족하여 0과 1의 균형 잡힌 빈도를 보장한다.
• 수열 xβ는 루카스 간격에 대한 재귀 관계에 의해 완전히 결정되며, xβ(Λ2n) = xβ([0, L2n−1])와 xβ(Λ2n+1) = x̄β(Λ2n−1)xβ(Λ2n−2)x̄β(Λ2n−1)를 만족한다.
• 2-블록 치환 τ[2]의 인cidenc 행렬은 고유벡터를 정규화하여 고정점의 모든 길이 2의 부분문자열에 대한 정확한 빈도를 도출할 수 있다.