[논문 리뷰] The tail process and tail measure of continuous time regularly varying stochastic processes

Philippe Soulier|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 52인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 이산시간 정규적으로 변화하는 시간열에 대해 이전에 개발된 尾過程과 尾測도 이론을 연속시간 확률과정으로 확장한다. 이 과정들은 càdlàg 샘플 경로를 갖는 연속시간 확률과정에 대해 $J_1$ 위상 하에서 여전히 유효함을 입증하며, 동차 이동 불변 측도의 구조적 표현을 제시하고 정규 변화 조건을 도출한다. 응용으로는 최대안정 및 합안정 과정이 포함된다.

ABSTRACT

The goal of this paper is to investigate the tools of extreme value theory originally introduced for discrete time stationary stochastic processes (time series), namely the tail process and the tail measure, in the framework of continuous time stochastic processes with paths in the space $\\mathcal{D}$ of c\\`adl\\`ag functions indexed by $\\mathbb{R}$, endowed with Skorohod's $J_1$ topology. We prove that the essential properties of these objects are preserved, with some minor (though interesting) differences arising. We first obtain structural results which provide representation for homogeneous shift-invariant measures on $\\mathcal{D}$ and then study regular variation of random elements in $\\mathcal{D}$. We give practical conditions and study several examples, recovering and extending known results.

연구 동기 및 목표

• 이국적 값 이론의 프레임워크를 특히 尾過程과 尾測도를 이국적 시간에서 연속시간 정규적으로 변화하는 확률과정으로 확장한다.
• 연속시간에서 $\mathcal{D}$ 공간의 càdlàg 함수 위에 $J_1$ 위상 하에서 동차 이동 불변 측도의 존재성과 구조적 성질을 확립한다.
• 통계적 추론에 유용하고 잘 정의된 尾過程과 尾測도를 확보하기 위해 $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ 내의 랜덤 요소의 정규 변화 조건을 실용적으로 제공한다.
• 제안된 연속시간 프레임워크를 적용하여 기존의 최대안정 및 합안정 과정에 대한 결과를 회복하고 확장한다.
• 연속시간에서 극단적 의존성을 특징짓는 클러스터의 점과정과 반대클러스터링 조건의 역할을 명확히 한다.

제안 방법

• 연속시간 과정의 정규 변화를 정의하기 위해 $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ 공간 위의 $J_1$ 위상과 함께 모호한 수렴 이론을 사용한다.
• $\mathcal{D}$ 위의 동차 이동 불변 측도에 대한 스펙트럼 표현을 유도하며, 이는 이산 시간 결과를 일반화한다.
• 혼합 이동 평균 표현을 도입하여 尾測도를 모델링하고 클러스터의 점과정과 연결한다.
• 앵커링 맵을 적용하여 尾測도와 尾過程 사이의 연결을 유지하면서 동차성과 이동 불변성을 보존한다.
• 안정 과정과 포아송 점과정 기법을 활용하여 $\sup_{a\leq s\leq b}|X(s)|$와 같은 기능의 꼬리 행동을 분석한다.
• 모멘트 한계와 지수 모멘트 추정치(예: $G(y)$ 및 $\Gamma_j$를 통한)를 사용하여 수렴성과 꼬리 지수 일관성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산시간 시계열에서의 尾過程과 尾測도 개념을 càdlàg 경로를 갖는 연속시간 확률과정으로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 $J_1$ 위상 하에서 $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ 공간 위의 동차 이동 불변 측도의 구조적 성질은 무엇인가?
• RQ3 연속시간 확률과정이 $\mathcal{D}(\mathbb{R})$에서 정규 변화를 보일 조건은 무엇인가?
• RQ4 반대클러스터링 조건은 연속시간에서 클러스터 구조와 극단적 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 제안된 연속시간 프레임워크를 사용하여 기존의 최대안정 및 합안정 과정에 대한 결과를 회복하고 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 연속시간 정규적으로 변화하는 확률과정에 대해 $J_1$ 위상 하에서 尾過程과 尾測도가 잘 정의되며, 이는 이산 시간에서의 핵심 성질을 유지한다.
• 연속시간에서 $\mathcal{D}$ 위의 동차 이동 불변 측도는 스펙트럼 표현을 갖으며, 혼합 이동 평균을 통해 표현 가능하여 이산 시간 결과를 확장한다.
• 동차성과 이동 불변성 덕분에 尾測도는 尾過程를 완전히 결정하며, 반대로도 마찬가지이므로 이산 시간에서 확립된 이중성 관계가 확인된다.
• 합안정 과정에서 $\alpha \in (0,2)$일 경우, 최대값 기능 $\sup_{a\leq s\leq b}|X(s)|$의 꼬리 지수는 정확히 $\alpha$이며, 한계 $\limsup_{x\to\infty} x^\alpha \mathbb{P}(\sup_{a\leq s\leq b}|X(s)| > x) = 1$로 나타난다.
• 연속시간에서 클러스터의 점과정은 이산 시간의 성질을 계승하며, 포아송 점과정과 정규화된 안정 과정을 통해 분포가 특징지어진다.
• 꼬리 지수 증명 기법은 모멘트 한계와 지수 모멘트 추정치에 기반하며, 꼬리 확률이 정확한 상수를 가진 $x^{-\alpha}$로 감소함을 보여준다.