[논문 리뷰] The time at which a Lévy process creeps

Philip S. Griffin, Ross Maller|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 29.

Probability and Risk Models참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 레비 과정이 수준 $ u $ 를 기어오르는 데 소요되는 시간이 이변량 상승 래더 과정의 재생 함수 $ V(t,u) $ 의 왼쪽 미분으로 특징지어지며, 이는 높이 성분 $ H $ 의 기울기의 역수로 스케일링된 것임을 규명한다. 주요 기여는 Doney와 Kyprianou의 오리지널 다섯 번째 법칙에서 누락된 기어오름 성분을 규명하고, Percheskii와 Rogozin의 두 번째 인수분해 항등식을 일반화한 라플라스 변환 항등식을 도출한 데 있다.

ABSTRACT

We show that if a Lévy process creeps then, as a function of $u$, the renewal function $V(t,u)$ of the bivariate ascending ladder process $(L^{-1},H)$ is absolutely continuous on $[0,\infty)$ and left differentiable on $(0,\infty)$, and the left derivative at $u$ is proportional to the (improper) distribution function of the time at which the process creeps over level $u$, where the constant of proportionality is $ md_H^{-1}$, the reciprocal of the (positive) drift of $H$. This yields the (missing) term due to creeping in the recent quintuple law of Doney and Kyprianou (2006). As an application, we derive a Laplace transform identity which generalises the second factorization identity. We also relate Doney and Kyprianou's extension of Vigon's équation amicale inversée to creeping. Some results concerning the ladder process of $X$, including the second factorization identity, continue to hold for a general bivariate subordinator, and are given in this generality.

연구 동기 및 목표

• 레비 과정이 수준 $ u $ 를 기어오르는 데 소요되는 시간의 분포를 이변량 상승 래더 과정의 관점에서 특징짓는 것.
• Doney와 Kyprianou(2006)의 다섯 번째 법칙에서 이전까지 기어오름 경로의 기여를 생략한 누락된 기어오름 항목을 규명하는 것.
• 기어오름 메커니즘에서 유도된 라플라스 변환 항등식을 사용하여 Percheskii와 Rogozin(1969)의 두 번째 인수분해 항등식을 일반화하는 것.
• 이변량 래더 과정의 결과를 일반 이변량 서브오르도레이터로 확장하여, 두 번째 인수분해 항등식이 더 넓은 변환 결과의 특수한 경우임을 드러내는 것.
• 기어오름 현상이 Doney와 Kyprianou의 Vigon의 '역 친구 방정식' 확장과 어떻게 관련되어 있는지 규명하여, 변동 이론 내에서의 역할을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 이변량 상승 래더 과정 $ (L^{-1}, H) $ 의 재생 함수 $ V(t,u) $ 를 분석하여, 기어오름이 발생할 경우 $ (0,ty) $ 에서 절대 연속적이며 왼쪽 미분 가능하다는 것을 보여주는 것.
• 기어오름이 발생할 경우 $ V(t,u) $ 의 $ u $ 에서의 왼쪽 미분이 기어오름 시간의 (불완전한) 분포 함수에 비례하며, 비례 상수는 높이 성분 $ H $ 의 기울기의 역수인 $ ext{d}_H^{-1} $ 임을 도출하는 것.
• 위너-홉프 인수분해와 쌍대성 원리를 활용하여, 래더 높이와 역 국소 시간의 공동 분포를 이중 과정 $ {X} $ 를 통해 기어오름 메커니즘과 연결하는 것.
• 보상 공식을 적용하여 래더 과정의 점프 분포를 원래 과정의 점프 조건수 $ { {P}}_{L^{-1},H} $ 를 통해 표현하는 것.
• 이변량 재생 함수를 통합하여 이중 과정의 래더 구조와 연결함으로써 기어오름 시간 분포에 대한 라플라스 변환 항등식을 도출하는 것.
• 이변량 서브오르도레이터에 대한 일반적인 변환 결과를 수립하여, 두 번째 인수분해 항등식이 이 더 넓은 프레임워크의 특수한 경우임을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기어오름 시간 분포와 이변량 상승 래더 과정의 재생 함수 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ2 Doney와 Kyprianou(2006)의 다섯 번째 법칙에서 누락된 기어오름 항목은 어떻게 명시적으로 규명하고 표현할 수 있는가?
• RQ3 Percheskii와 Rogozin(1969)의 두 번째 인수분해 항등식은 기어오름 기여를 포함하도록 라플라스 변환 항등식을 통해 일반화될 수 있는가?
• RQ4 레비 과정의 이변량 래더 과정에 대한 결과는 어느 정도 일반 이변량 서브오르도레이터로까지 확장될 수 있는가?
• RQ5 기어오름 메커니즘은 Doney와 Kyprianou의 Vigon의 '역 친구 방정식' 확장과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 레비 과정이 기어올라갈 경우, 이변량 상승 래더 과정의 재생 함수 $ V(t,u) $ 는 $ (0,ty) $ 에서 절대 연속적이며 왼쪽 미분 가능하다.
• 기어오름이 발생할 경우 $ V(t,u) $ 의 $ u $ 에서의 왼쪽 미분은 기어오름 시간의 누적분포함수에 비례하며, 비례 상수는 높이 성분 $ H $ 의 기울기의 역수인 $ ext{d}_H^{-1} $ 이다.
• 다섯 번째 법칙에서 누락된 기어오름 항목은 $ ext{d}_H^{-1} imes ext{기어오름 시간의 CDF} $ 로 규명되어 변동 이론의 프레임워크를 완성한다.
• 기어오름 경로를 포함하도록 확장된 일반화된 라플라스 변환 항등식이 유도되었으며, 이는 Percheskii와 Rogozin(1969)의 두 번째 인수분해 항등식을 일반화한 것이다.
• 두 번째 인수분해 항등식이 일반 이변량 서브오르도레이터에 대한 변환 결과의 특수한 경우임이 밝혀졌으며, 이는 이전 문헌에서 간과된 사실이다.
• 기어오름 메커니즘이 Doney와 Kyprianou의 Vigon의 '역 친구 방정식' 확장과 공식적으로 연결되어 있으며, 이는 레비 과정의 변동 이론 내에서의 역할을 명확히 한다.