[논문 리뷰] The twisted second moment of modular half integral weight $L$--functions

Alexander R. Dunn, Alexandru Zaharescu|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 08.

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한 줄 요약

이 논문은 Kohnen newform에 대응하는 반정수 스펙트럼의 $L$-함수의 비틀린 두 번째 순간에 대해, 스펙트럼 분석과 Salié 합의 상한을 이용하여 거칠게 제곱을 줄인 오차 항을 가진 조건 없는 渐近 공식을 수립한다. 이 결과는 오일러 곱이 없는 $L$-함수에 대한 날카로운 Lindelöf-평균 추정치를 확인하며, Hoffstein의 추측을 해결하고, 반정수 스펙트럼 형태로 비아르키메데스적 순간 이론을 확장한다.

ABSTRACT

Given a half-integral weight holomorphic Kohnen newform $f$ on $Γ_0(4)$, we prove an asymptotic formula for large primes $p$ with power saving error term for \begin{equation*} \sideset{}{^*} \sum_{χ\hspace{-0.15cm} \pmod{p}} | L(1/2,f,χ) |^2. \end{equation*} Our result is unconditional, it does not rely on the Ramanujan--Petersson conjecture for the form $f$. This gives a very sharp Lindelöf on average result for Dirichlet series attached to Hecke eigenforms without an Euler product. The Lindelöf hypothesis for such series was originally conjectured by Hoffstein. There are two main inputs. The first is a careful spectral analysis of a highly unbalanced shifted convolution problem involving the Fourier coefficients of half-integral weight forms. The second input is a bound for sums of products of Salié sums in the Polya--Vinogradov range. Half--integrality is fully exploited to establish such an estimate. We use the closed form evaluation of the Salié sum to relate our problem to the sequence $αn^2 \pmod{1}$. Our treatment of this sequence is inspired by work of Rudnick--Sarnak and the second author on the local spacings of $αn^2$ modulo one.

연구 동기 및 목표

• 반정수 스펙트럼의 정칙 촉각형 모듈라 형식에 대응하는 $L$-함수의 비틀린 두 번째 순간에 대한 渐近 공식을 수립한다.
• 이 결과를 Ramanujan–Petersson 추측을 가정하지 않고도 조건 없이 증명한다.
• 오일러 곱이 없는 $L$-급수에 대해 $L$-함수 순간 이론을 확장한다. 특히 반정수 스펙트럼 형태에 대해.
• 현재 해석적 수론의 기술 수준의 한계에 맞추어, 渐近 공식에서 거칠게 제곱을 줄인 오차 항을 달성한다.
• 오일러 곱이 없는 $L$-함수에 대해 날카로운 Lindelöf-평균 추정치를 제공하며, Hoffstein의 추측을 확인한다.

제안 방법

• 반정수 스펙트럼 모듈라 형식의 푸리에 계수를 포함하는 매우 불균형한 이동 합합을 분석하기 위해 스펙트럼 방법을 사용한다.
• 반정수 스펙트럼의 성질을 이용해 상쇄를 이끌어내기 위해, Polya–Vinogradov 범위에서 Salié 합의 곱에 대한 새로운 상한을 도입한다.
• Salié 합의 폐쇄형 평가를 적용하여 문제를 $\alpha n^2 \pmod{1}$의 균등 분포와 연결하며, Rudnick–Sarnak 및 Zaharescu의 국소 간격 통계 아이디어를 활용한다.
• 오차 항을 제어하기 위해 세밀한 이진 분해와 주파수 국소화를 수행한다.
• 약수 상한과 특성 합 추정치를 사용하여 특정 합동식의 해의 수를 제어하며, $O(p^\varepsilon)$ 유형의 상한을 확보한다.
• 스펙트럼 기법과 지수 합 기법을 융합하여 주요 오차 항을 상한화하며, 궁극적으로 순간 공식에서 거칠게 제곱을 줄인 오차 항을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Ramanujan–Petersson 추측을 가정하지 않고도 반정수 스펙트럼의 $L$-함수의 비틀린 두 번째 순간에 대해 거칠게 제곱을 줄인 오차 항을 가진 渐近 공식을 수립할 수 있는가?
• RQ2 반정수 스펙트럼 형태에서 발생하는 불균형한 이동 합합 문제에 대해 스펙트럼 방법을 어떻게 적용할 수 있는가?
• RQ3 반정수 스펙트럼을 가진 형식에서 Polya–Vinogradov 범위에서 Salié 합의 곱에 대해 어떤 상한을 확보할 수 있는가?
• RQ4 $\alpha n^2 \pmod{1}$의 균등 분포가 $L$-함수 순간의 맥락에서 지수 합을 제어하는 데 얼마나 활용될 수 있는가?
• RQ5 반정수 스펙트럼 헤키 고유형식에 대응하는 $L$-함수에 대해 오일러 곱이 없을 경우, 평균적인 Lindelöf 가설이 성립하는가?

주요 결과

• 큰 소수 $p$에 대해 $\sum_{\chi \pmod{p}}^{\ast} |L(1/2, f, \chi)|^2$에 대해 조건 없는 渐近 공식이 거칠게 제곱을 줄인 오차 항을 가짐을 증명하였다.
• 오차 항은 $O_{\varepsilon}(p^{1 - \delta})$ 형태이며, $\delta > 0$ 이고, 매개변수 $\bm{\delta} = (11/288, 11/48, 25/36, 407/432, 11/96, 11/96)$의 선택을 통해 명시적으로 정량화되었다.
• 이 결과는 오일러 곱이 없는 $L$-함수에 대해 날카로운 Lindelöf-평균 추정치를 확인하며, Hoffstein의 추측을 지지한다.
• 연구 방법은 Ramanujan–Petersson 추측에 의존하지 않아 결과가 조건 없이 성립한다.
• 시퀀스 $\alpha n^2 \pmod{1}$의 분석이 핵심이며, 그 국소 간격 통계는 지수 합 제어에 사용된다.
• Salié 합의 곱에 대한 상한은 폐쇄형 공식과 디오판틴 대수적 근사 기법의 새로운 응용을 통해 확립되었다.