[논문 리뷰] The Ultraviolet Structure of Quantum Field Theories. Part 3: Gauge Theories

Djordje Radicevic|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 26.

Physics of Superconductivity and Magnetism참고 문헌 98인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 (2+1)차원 아벨 게이지 이론에 대해 레이티스-연속체 대응을 엄밀하고 비영향론적으로 수립하며, 연속체 양자장론—맥스웰 이론, QED, 초전도체 이론—이 레이티스 $\pi_K$ 게이지 이론에서 느슨한 모드를 선택하는 스무딩 절차를 통해 유도됨을 보여준다. 핵심 기여는 형식적 $a \to 0$ 극한을 취하지 않고도 연속체 게이지 이론을 정의하는 것으로, 유한한 레이티스에 잘 정의된 프리연속체 기저와 $k_S/N$에 의해 제어되는 스무딩 조건을 사용함으로써, 쿨롱 법칙과 OPE 구조와 같은 표준 연속체 특징을 정확히 복원할 수 있다.

ABSTRACT

This paper develops a detailed lattice-continuum correspondence for all common examples of Abelian gauge theories, with and without matter. These rules for extracting a continuum theory out of a lattice one represent an elementary way to rigorously define continuum gauge theories. The focus is on (2+1)D but the techniques developed here work in all dimensions. The first half of this paper is devoted to pure Maxwell theory. It is precisely shown how continuum Maxwell theory emerges at low energies in an appropriate parameter regime of the $\mathbb{Z}_K$ lattice gauge theory at large $K$. The familiar features of this theory -- its OPE structure, the distinction between compact and noncompact degrees of freedom, infrared "particle-vortex" dualities, and the Coulomb law behavior of its Wilson loop -- are all derived directly from the lattice. The rest of the paper studies gauge fields coupled to either bosonic or fermionic matter. Scalar QED is analyzed at the same level of precision as pure Maxwell theory, with new comments on its phase structure and its connections to the topological BF theory. Ordinary QED (Dirac fermions coupled to Maxwell theory) is constructed with an eye toward properly defining spinors and avoiding global anomalies. The conventional continuum QED is shown to arise from a specific restriction of the starting theory to smoothly varying fields. Such smoothing also turns out to be a necessary condition for Chern-Simons theory to arise from integrating out massive fermions in a path integral framework. In an effort to find a canonical origin of Chern-Simons theory that does not rely on path integral smoothing, a simple flux-attached lattice gauge theory is shown to give rise to a Chern-Simons-like action in the confining regime.

연구 동기 및 목표

• 형식적 연속체 극한 $a \to 0$ 없이도 직접적으로 레이티스 표현으로부터 연속체 게이지 이론을 엄밀하고 비영향론적으로 정의하는 것.
• 장들이 스무딩되지 않거나 결합 상수가 $O(a^0)$ 가 아니어도 연속체 극한으로 수렴할 때 발생하는 기초적 모호성을 해결하는 것.
• 쿨롱 법칙, OPE 구조, 적외색 dualities와 같은 표준 연속체 특징이 스무딩 절차를 통해 직접적으로 레이티스 모델에서 도출될 수 있음을 보여주는 것.
• 초전도체 이론이 경로 적분 스무딩 외에도 금속 상태에서의 플럭스 부착 레이티스 모형을 통해 유도될 수 있음을 보여주는 것.
• 비아벨 이론 및 고차원 이론의 연속체 극한 정의에 기초를 마련하며, 상전이와 유니버설리티를 포함한 문제를 다룰 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• 정수 입자 수 고유값 $n_k \in \{0,1,\dots,J_k-1\}$ 를 가진 레이티스 위에서 단계 연산자 $c_k, c_k^\dagger$ 의 프리연속체 기저를 정의하여 유한차원 힐베르트 공간을 형성한다.
• 해밀토니안으로부터 얻는 메트릭을 지닌 운동량 공간 $\mathbb{P}$ 를 도입하고, 저에너지이자 부드럽게 변화하는 모드의 부분집합인 '조각별 연속' 집합 $\mathbb{P}_S$ 를 정의한다.
• 고진동수 모드를 투영하여 제거하고 $n_k$ 와 그 거듭제곱만 유지함으로써 연속체 대수 $\mathcal{A}_S$ 를 구성함으로써 스무딩된 저에너지 효과 이론을 정의한다.
• 이 틀을 사용하여 $K \to \infty$ 일 때 $\mathbb{Z}_K$ 레이티스 게이지 이론에서 윌슨 루프 행동, OPE 구조, 입자-바위 dualities 를 유도하고 맥스웰 이론을 복원한다.
• 유사한 방법을 스칼라 QED 와 디рак 페르미온이 포함된 QED 에 적용하여, 기존 QED 가 부드러운 필드로 제한된 경우에 해당함을 보여준다.
• 금속 상태에서 초전도체 이론과 유사한 행동을 보이는 플럭스 부착 레이티스 모형을 도입하여, CS 이론의 캐논칼, 경로 적분에 의존하지 않는 기원을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 형식적 $a \to 0$ 극한 없이 어떻게 레이티스 이론으로부터 연속체 게이지 이론을 엄밀하게 정의할 수 있는가?
• RQ2 레이티스 필드에 어떤 조건이 있어야 쿨롱 법칙과 OPE 구조와 같은 표준 연속체 특징이 유도되는가?
• RQ3 경로 적분 스무딩이나 위상적 왜곡에 의존하지 않고도 초전도체 이론이 레이티스 구성에서 유도될 수 있는가?
• RQ4 스무딩 절차는 물질이 존재할 경우 레이티스 게이지 이론의 상 구조와 유니버설리티에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 필드의 부드러움과 ' tame ' 성질은 레이티스 모형에서 BF 및 초전도체 이론과 같은 위상장론이 어떻게 유도되는가에 있어 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 큰 $K$ 에서 $\mathbb{Z}_K$ 레이티스 게이지 이론의 연속체 극한은 쿨롱 법칙을 만족하는 윌슨 루프 행동과 OPE 구조를 포함한 전체 맥스웰 이론을 재현한다.
• $K \to \infty$ 극한에서 레이티스 이론은 적외색 입자-바위 dualities 를 나타내며, 기존의 연속체 dualities 와의 일관성을 확인한다.
• 기존 QED 는 레이티스 이론을 부드럽게 변화하는 필드로 제한한 경우에 해당하며, 레이티스 상에서 페르미온 두重화 메커니즘을 통해 스핀터스가 올바르게 정의된다.
• 금속 상태에서의 플럭스 부착 레이티스 모형은 초전도체 이론과 유사한 행동을 보이며, CS 이론의 캐논칼, 경로 적분에 의존하지 않는 기원을 제공한다.
• 이 방법은 모든 물리적 특징이 연산자 대수적 구조와 부드러움 조건에서 유도되는 비영향론적, 유한 레이티스 기반의 연속체 게이지 이론 정의를 가능하게 한다.
• 이 접근법은 형식적 연속체 극한에 의존하지 않고도 상전이, 예를 들어 금속-해리 전이와 같은 문제를 정밀하고 정량적으로 다룰 수 있다.