[논문 리뷰] The unifying formula for all Tribonacci-type octonions sequences and their properties

Gamaliel Cerda-Morales|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 10.

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한 줄 요약

이 논문은 비결합성 8차원 대수에서 제3차 선형 재귀 관계를 기반으로 하여 일반화된 트리보나치 수의 개념을 옥터니온 대수로 확장함으로써 일반화된 트리보나치 유형의 옥터니온 수열을 위한 통합 공식을 제안한다. 이는 바이넷 스타일의 공식, 생성 함수 및 핵심 항등식을 도출하여 피보나치, 펠, 자코브스타르 옥터니온과 같은 기존의 수열들을 하나의 프레임워크로 통합한다.

ABSTRACT

Various families of octonion number sequences (such as Fibonacci octonion, Pell octonion and Jacobsthal octonion) have been established by a number of authors in many different ways. In addition, formulas and identities involving these number sequences have been presented. In this paper, we aim at establishing new classes of octonion numbers associated with the generalized Tribonacci numbers. We introduce the Tribonacci and generalized Tribonacci octonions (such as Narayana octonion, Padovan octonion and third-order Jacobsthal octonion) and give some of their properties. We derive the relations between generalized Tribonacci numbers and Tribonacci octonions.

연구 동기 및 목표

• 트리보나치 수의 개념을 옥터니온 대수로 일반화하여 기존의 피보나치 및 펠 옥터니온 수열을 확장한다.
• 일반화된 트리보나치 수를 사용하여 모든 트리보나치 유형의 옥터니온 수열에 대한 통합 프레임워크를 수립한다.
• 일반화된 트리보나치 옥터니온 수열에 대한 닫힌 표현식(바이넷 스타일 공식)과 생성 함수를 유도한다.
• 이러한 옥터니온의 대수적 성질 및 수론적 성질을 탐구하며, 재귀 항등식과 특성 방정식을 포함한다.
• 나라이아나, 패도반, 제3차 자코브스타르 수열과 같은 다양한 옥터니온 수열을 하나의 대수적 구조로 통합한다.

제안 방법

• 제3차 선형 재귀를 통해 일반화된 트리보나치 수를 정의한다: $ V_n = rV_{n-1} + sV_{n-2} + tV_{n-3} $, 임의의 초기값과 실수 계수를 가진다.
• 일반화된 트리보나치 옥터니온을 $ O_{v,n} = V_n e_0 + V_{n+1} e_1 + \cdots + V_{n+7} e_7 $ 로 구성하여 수열을 옥터니온 대수에 통합한다.
• 특성 방정식 $ x^3 - rx^2 - sx - t = 0 $ 의 근 $ \alpha, \omega_1, \omega_2 $ 를 사용하여 $ O_{v,n} $ 에 대한 바이넷 스타일의 공식을 유도한다.
• 호라담과 아이어의 피보나치 퀼터니온 연구 기법을 응용하여 옥터니온에 적합하게 조정하고, 근의 대칭 함수와 대수적 항등식을 활용한다.
• 닫힌 표현식과 근의 성질을 이용하여 일반화된 트리보나치 옥터니온의 생성 함수를 도출한다.
• 특성 방정식과 옥터니온 곱셈 규칙을 조작하여 재귀 항등식을 수립하고, 선형 재귀와의 일致성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 트리보나치 수는 어떻게 옥터니온 수열의 일관된 가족을 형성할 수 있는가?
• RQ2 일반화된 트리보나치 옥터니온에 대한 닫힌 표현식인 바이넷 스타일의 공식은 무엇인가?
• RQ3 옥터니온의 대수적 성질은 이러한 수열의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 어떤 항등식과 생성 함수가 일반화된 트리보나치 옥터니온 수열을 특징짓는가?
• RQ5 기존의 자코브스타르, 패도반, 나라이아나 옥터니온 수열들이 이 일반화된 프레임워크 아래에서 통합될 수 있는가?

주요 결과

• 일반화된 트리보나치 옥터니온에 대한 통합 바이넷 스타일의 공식이 도출되었다: $ O_{v,n} = \frac{P\underline{\alpha}\alpha^n}{(\alpha-\omega_1)(\alpha-\omega_2)} - \frac{Q\underline{\omega_1}\omega_1^n}{(\alpha-\omega_1)(\omega_1-\omega_2)} + \frac{R\underline{\omega_2}\omega_2^n}{(\alpha-\omega_2)(\omega_1-\omega_2)} $, 여기서 $ P, Q, R $ 는 초기값과 특성 방정식의 근에 의해 정의된다.
• 닫힌 표현식과 근 $ \alpha, \omega_1, \omega_2 $ 의 성질을 이용하여 일반화된 트리보나치 옥터니온의 생성 함수가 구성되었다.
• 재귀 항등식 $ \alpha^2 O_{v,n+2} + \alpha(sO_{v,n+1} + tO_{v,n}) + tO_{v,n+1} = P\underline{\alpha}\alpha^{n+2} $ 이 증명되었으며, 이는 옥터니온 수열과 특성 방정식을 연결한다.
• 만일 $ r=s=t=1 $, $ V_0=0, V_1=V_2=1 $ 이면 공식은 고전적 트리보나치 옥터니온으로 간소화되어 기존 사례와의 일致성을 확인한다.
• 이 프레임워크는 나라이아나, 패도반, 제3차 자코브스타르 옥터니온 수열을 포함한 다양한 옥터니온 수열을 하나의 대수적 구조로 성공적으로 통합한다.
• 이 방법은 이전의 피보나치 및 루카스 퀄터니온 연구를 옥터니온으로 일반화하여, 호라담-아이어 접근법을 비결합성 고차원 대수로 확장한다.