[논문 리뷰] The universal factorial Hall-Littlewood $P$- and $Q$-functions

Masaki Nakagawa, Hiroshi Naruse|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 13.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 41인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 보편 형식군 법칙을 사용하여 보편 인수 Hall–Littlewood $P$- 및 $Q$-함수를 도입하며, 일반 Hall–Littlewood 다항식을 복잡한 코호몰로지 이론으로 일반화한다. 이 함수들은 제로 성질을 만족시키며, 피에리 유형의 공식과 일반화된 후크 길이 공식을 유도하고, 플래그 번들의 Gysin 사상에 의한 기하적 특성화를 통해 $K$-이론적 $Q$-다항식의 생성 함수와 펄프형 공식을 이끌어낸다.

ABSTRACT

In this paper, we introduce {\it factorial} analogues of the ordinary Hall--Littlewood $P$- and $Q$-polynomials, which we call the {\it factorial Hall--Littlewood $P$- and $Q$-polynomials}. Using the {\it universal} formal group law, we further generalize these polynomials to the {\it universal factorial Hall--Littlewood $P$- and $Q$-functions}. We show that these functions satisfy the {\it vanishing property} which the ordinary factorial Schur $S$-, $P$-, and $Q$-polynomials have. By the vanishing property, we derive the Pieri-type formula and a certain generalization of the classical hook formula. We then characterize our functions in terms of Gysin maps from flag bundles in the complex cobordism theory. Using this characterization and Gysin formulas for flag bundles, we can obtain generating functions for the universal factorial Hall--Littlewood $P$- and $Q$-functions. Using our generating functions, we can show that our factorial Hall--Littlewood $P$- and $Q$-polynomials have a certain {\it cancellation property}. Further applications such as Pfaffian formulas for $K$-theoretic factorial $Q$-polynomials are also given.

연구 동기 및 목표

• 보편 형식군 법칙을 사용하여 일반 Hall–Littlewood $P$- 및 $Q$-다항식을 인수적이고 보편적인 형태로 일반화하기.
• 복잡한 코호몰로지 이론 내 플래그 번들의 Gysin 사상에 의한 이러한 함수들의 기하적 특성화를 수립하기.
• 위상적 Gysin 공식을 사용하여 보편 인수 Hall–Littlewood 함수의 생성 함수를 도출하기.
• 생성 함수를 적용하여 인수 Hall–Littlewood 다항식의 취소 성질을 증명하기.
• 추측된 생성 함수를 바탕으로 $K$-이론적 인수 $Q$-다항식에 대한 펄프형 공식을 제공하기.

제안 방법

• 보편 형식군 법칙 $+_{bL}$를 포함하는 대칭군의 쌍곡군에 대한 합으로서 보편 인수 Hall–Littlewood $P$- 및 $Q$-함수 $HP^{bL}_{m{ u}}(m{x}_n;t|m{b})$ 및 $HQ^{bL}_{m{ u}}(m{x}_n;t|m{b})$를 정의하기.
• 이 함수들의 제로 성질을 활용하여 피에리 유형의 공식과 일반화된 후크 길이 공식을 도출하기.
• 복잡한 코호몰로지 이론 내 플래그 번들의 Gysin 사상에 의한 함수의 기하적 특성화를 수행하기.
• Gysin 공식과 형식군 법칙 항등식을 사용하여 보편 함수의 생성 함수를 구성하기.
• 생성 함수를 적용하여 인수 Hall–Littlewood 다항식의 취소 성질을 증명하기.
• 쌍대 $K$-이론적 $Q$-다항식 $gq_{ u}(m{y}_n)$에 대한 생성 함수를 추측하고, 이로부터 추측에 기반한 펄프형 공식을 이끌어내기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 보편 형식군 법칙을 사용하여 일반 Hall–Littlewood $P$- 및 $Q$-다항식을 보편 인수적 형태로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 이러한 보편 함수는 복잡한 코호몰로지 이론에서 어떤 기하적 또는 위상적 해석을 가질 수 있는가?
• RQ3 Gysin 공식을 사용하여 보편 인수 Hall–Littlewood $P$- 및 $Q$-함수의 생성 함수를 도출할 수 있는가?
• RQ4 인수 Hall–Littlewood 다항식은 어떤 취소 성질을 만족하며, 이를 어떻게 증명할 수 있는가?
• RQ5 $K$-이론적 인수 $Q$-다항식에 대한 펄프형 공식이 존재하는가, 그리고 추측된 생성 함수로부터 이를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 보편 인수 Hall–Littlewood $P$- 및 $Q$-함수는 인수 슈어 함수와 유사한 제로 성질을 만족한다.
• 제로 성질에 기반하여 보편 함수에 대한 피에리 유형의 공식이 도출된다.
• 제로 성질의 결과로서 일반화된 후크 길이 공식이 도출된다.
• 함수들은 복잡한 코호몰로지 이론 내 플래그 번들의 Gysin 사상에 의해 특성화된다.
• Gysin 공식과 보편 형식군 법칙을 사용하여 보편 함수의 생성 함수가 구성된다.
• 생성 함수의 추측에 기반하여 $K$-이론적 인수 $Q$-다항식 $gq_{ u}(m{y}_n)$에 대한 펄프형 공식이 도출된다.