[논문 리뷰] The weak noise theory of the O'Connell-Yor polymer as an integrable discretisation of the nonlinear Schrodinger equation

Alexandre Krajenbrink, Pierre Le Doussal|arXiv (Cornell University)|2023. 07. 03.

Nonlinear Photonic Systems인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 혼합 초기-최종 경계 조건을 가진 비선형 슈뢰딩거 방정식의 적분 가능离산화인 반연속 O'Connell-Yor 고무체에 대해 약한 소음 이론을 수립한다. 새로운 역산산법과 프레드홀름 행렬식 프레임워크를 사용하여 자유 에너지의 정확한 대 deviations 비율 함수를 유도하고, 라크 쌍을 통한 적분 가능성과 함께 Toda 사슬 및 KPZ 보편성과의 연결을 보여준다.

ABSTRACT

We investigate and solve the weak noise theory for the semi-discrete O'Connell-Yor directed polymer. In the large deviation regime, the most probable evolution of the partition function obeys a classical non-linear system which is a non-standard discretisation of the nonlinear Schrodinger equation with mixed initial-final conditions. We show that this system is integrable and find its general solution through an inverse scattering method and a novel Fredholm determinant framework that we develop. This allows to obtain the large deviation rate function of the free energy of the polymer model from its conserved quantities and to study its convergence to the large deviations of the Kardar-Parisi-Zhang equation. Our model also degenerates to the classical Toda chain, which further substantiates the applicability of our Fredholm framework.

연구 동기 및 목표

• 연속적인 확률적 시스템에서의 약한 소음 이론을 반연속 O'Connell-Yor 고무체와 같은 이산적 확률적 시스템으로 확장한다.
• 분할 함수의 대 deviations 경로가 혼합 경계 조건을 가진 비선형 슈뢰딩거 방정식의 표준적이지 않은 이산화에 의해 지배됨을 규명한다.
• 이산 적분 가능 시스템에서 시간에 비국소적인 경계 조건을 갖는 데 적합한 역산산법을 개발한다.
• 보존량과 프레드홀름 행렬식을 사용하여 자유 에너지의 정확한 대 deviations 비율 함수를 유도한다.
• 대 deviations 영역에서 OY 고무체, Toda 격자, KPZ 방정식 간의 관계를 수립한다.

제안 방법

• 동적 작용에 대한 사다리꼴 문제로 O'Connell-Yor 고무체의 약한 소음 극한을 공식화하여 고전적 비선형 시스템을 도출한다.
• 유도된 시스템이 혼합된 초기 및 최종 조건을 가진 비선형 슈뢰딩거 방정식의 표준적이지 않은 격자 이산화임을 확인한다.
• 라크 쌍을 구성하여 스펙트럼 문제와 산란 데이터의 시간 진화 존재성을 통해 시스템의 적분 가능성을 증명한다.
• 비국소적 경계 조건 하에서 역산산 문제를 해결하기 위해 새로운 프레드홀름 행렬식 프레임워크를 도입한다.
• 역산산 변환을 사용하여 해를 재구성하고 스펙트럼 자료로부터 보존량을 계산한다.
• 보존량에서 대 deviations 비율 함수를 유도하고 그 수렴성을 KPZ 방정식 극한에서 분석한다.

Figure 1: Example of a configuration of the O’Connell-Yor polymer, here for $N=5$ , where independent Brownian live on each horizontal line.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 소음 이론은 KPZ 방정식과 같은 연속 시스템에서 O'Connell-Yor 고무체와 같은 이산 확률 모델로 확장될 수 있는가?
• RQ2 OY 고무체의 대 deviations 영역에서 가장 가능성이 높은 경로를 지배하는 고전적 비선형 시스템의 성격은 무엇인가?
• RQ3 혼합된 초기-최종 경계 조건을 가진 비선형 슈뢰딩거 유형의 이산화 시스템에서 적분 가능성을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ4 OY 고무체 모델의 자유 에너지에 대한 정확한 대 deviations 비율 함수의 형태는 무엇인가?
• RQ5 대 deviations 극한에서 OY 고무체 모델은 Toda 사슬과 KPZ 방정식과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• O'Connell-Yor 고무체의 약한 소음 극한은 혼합된 초기 및 최종 조건을 가진 비선형 슈뢰딩거 방정식의 표준적이지 않은 이산화인 고전적 비선형 시스템으로 이어진다.
• 라크 쌍을 통한 적분 가능성이 입증되었으며, 비국소적 경계 조건에 적합한 역산산법을 통해 일반 해가 구성된다.
• 시스템의 보존량에서 대 deviations 비율 함수를 계산하기 위해 새로운 프레드홀름 행렬식 프레임워크가 개발되었다.
• 자기 에너지의 대 deviations 비율 함수는 임의의 $N$에 대해 정확히 유도되었고 연속 극한에서 KPZ 방정식의 비율 함수로 수렴함을 보였다.
• 모델은 고전적 Toda 사슬으로 극한에 도달하며, 이는 알려진 적분 가능 시스템과의 일致를 확인하고 프레드홀름 프레임워크의 광범위한 적용 가능성을 뒷받침한다.
• 대 deviations 조건 하의 분할 함수 해는 역산산 자료로부터 명시적으로 재구성되었으며, 희귀 변동의 완전한 기술을 제공한다.

Figure 2: Derivative of the rate function, $\Psi_{N}^{\prime}(\Lambda)$ . The main branch is in blue and the second (solitonic) branch is in orange. The ordinate is also equal to $z_{N}(t=1)=e^{H}$ hence one can read off the relation between $H$ and $\Lambda$ (which is not one-to-one).