[논문 리뷰] Theory of Anomalous Floquet Higher-Order Topology: Classification, Characterization, and Bulk-Boundary Correspondence

Rui-Xing Zhang, Zhi-Cheng Yang|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 15.

Topological Materials and Phenomena참고 문헌 86인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 2차원 주기적으로 구동되는 시스템에서 비정상 프로켓 고차원 토폴로지 절연체(AFHOTIs)를 분류하고 특성화하기 위한 통합 프레임워크를 수립한다. 이는 시간 evolution 연산자의 위상 스펙트럼 내에서 3D 디랙/와이울 유사 토폴로지 특이점으로서의 강건한 모서리 모드를 식별함으로써 이루어지며, 주요 결과는 이러한 특이점과 대칭 보호된 영에너지 모서리 모드를 연결하는 고차원 보고-경계 상응관계이다. 이는 차원 감소와 $C_2$ 및 $D_4$ 대칭성을 갖는 명시적 모델에 의해 검증되었다.

ABSTRACT

Periodically-driven or Floquet systems can realize anomalous topological phenomena that do not exist in any equilibrium states of matter, whose classification and characterization require new theoretical ideas that are beyond the well-established paradigm of static topological phases. In this work, we provide a general framework to understand anomalous Floquet higher-order topological insulators (AFHOTIs), the classification of which has remained a challenging open question. In two dimensions (2D), such AFHOTIs are defined by their robust, symmetry-protected corner modes pinned at special quasienergies, even though all their Floquet bands feature trivial band topology. The corner-mode physics of an AFHOTI is found to be generically indicated by 3D Dirac/Weyl-like topological singularities living in the phase spectrum of the bulk time-evolution operator. Physically, such a phase-band singularity is essentially a "footprint" of the topological quantum criticality, which separates an AFHOTI from a trivial phase adiabatically connected to a static limit. Strikingly, these singularities feature unconventional dispersion relations that cannot be achieved on any static lattice in 3D, which, nevertheless, resemble the surface physics of 4D topological crystalline insulators. We establish the above higher-order bulk-boundary correspondence through a dimensional reduction technique, which also allows for a systematic classification of 2D AFHOTIs protected by point group symmetries. We demonstrate applications of our theory to two concrete, experimentally feasible models of AFHOTIs protected by $C_2$ and $D_4$ symmetries, respectively. Our work paves the way for a unified theory for classifying and characterizing Floquet topological matters.

연구 동기 및 목표

• 비정상 프로켓 고차원 토폴로지 절연체(AFHOTIs)를 분류하는 데 있어 여전히 미해결된 과제를 해결한다. 이는 비틀림이 없는 밴드 위상 구조를 가짐에도 불구하고 강건한 모서리 모드를 갖는다.
• 기존의 토폴로지 밴드 이론을 초월하여, 주기적으로 구동되는 시스템에서 고차원 토폴로지 상태에 대한 보고-경계 상응관계를 수립한다.
• 모서리 모드의 토폴로지 기원을 시간 evolution 연산자의 위상 스펙트럼 내 3D 디랙/와이울 유사 특이점으로 규명한다.
• 점군 대칭성, 특히 $C_n$ 및 $D_n$ 군을 포함하여 AFHOTIs를 체계적으로 분류한다.
• 구체적인 모델을 통한 실험 가능성과 위상 밴드 특이점 탐지 가능성을 입증한다.

제안 방법

• 2차원 AFHOTIs를 효과적인 3차원 토폴로지 상태로 매핑하기 위해 차원 감소를 사용하여 위상 특이점에 의한 분류를 가능하게 한다.
• 프로켓 시간 evolution 연산자 $U({\bf k},t)$의 위상 스펙트럼 내에서의 토폴로지 특이점이 비정상 고차원 위상 구조의 핵심 지표임을 규명한다.
• $C_4$ 대칭성을 간단히 분석하기 위해 회전 대칭 기저 변환을 적용하여 $U({\bf k},t)$의 분석을 단순화하고 디랙 유사 점의 구조를 드러낸다.
• 시간 간격 $T/4 < t \leq 3T/4$ 및 $3T/4 < t \leq T$ 에서 각각 $U_{2}({\bf k},t)$ 와 $U_{3}({\bf k},t)$ 의 해석적 표현을 유도하여 동적 디랙 점 (DDPs) 의 위치를 특정한다.
• 시간 evolution 행렬에서 $a_i = -1$ 조건을 통해 DDP 존재 조건을 수립하며, 이는 $U_2$ 에서 $w_0 + w_1 \geq \sqrt{2}\pi$ 이고 $U_3$ 에서 $w_1 + w_0 \geq \sqrt{2}\pi$ 라는 조건으로 이어지며, 이는 $π$ 모서리 모드의 위상 경계와 정확히 일치한다.
• DDP 근처에서 효과적 해밀토니안 $h_D = i\log U$ 를 구성하여, 이가 $({\bf k}, t)$ 공간 내에서 3차원 디랙 점을 기술하며, 일반적인 정적 3차원 격자에서는 실현될 수 없는 비정상적인 분산을 갖는다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 비정상 프로켓 고차원 토폴로지 절연체에서 비틀림이 없는 밴드 위상 구조를 가짐에도 불구하고 강건한 모서리 모드가 존재하는 토폴로지 기원은 무엇인가?
• RQ2 주기적으로 구동되는 시스템에서 고차원 토폴로지 상태에 대한 보고-경계 상응관계는 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ3 시간 evolution 연산자의 위상 스펙트럼 내 3D 디랙/와이울 유사 특이점이 비정상 프로켓 위상 구조를 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 점군 대칭성, 예를 들어 $C_2$ 및 $D_4$ 로 보호되는 AFHOTIs는 어떻게 체계적으로 분류될 수 있는가?
• RQ5 동적 디랙 점의 존재와 대칭 보호된 모서리 모드의 발생 사이에는 어떤 연결 고리가 있는가?

주요 결과

• 시간 evolution 연산자 $U({\bf k},t)$ 의 위상 스펙트럼 내에서 동적 디랙 점 (DDP) 이 존재하는 것은 $D_4$ 대칭 모델에서 대칭 보호된 $π$ 에너지 모서리 모드 존재에 필수적이고 충분한 조건이다.
• 특히 $({\bf k}_0, t_0) = (\Gamma, t_0)$ 에서 DDP 가 발생할 조건은 $w_0 + w_1 \geq \sqrt{2}\pi$ 이며, 이는 $π$ 모서리 모드의 위상 경계와 정확히 일치한다. 이는 DDP 가 토폴로지 불변량임을 증명한다.
• DDP 근처에서의 효과적 해밀토니안은 $({\bf k}, t)$ 공간 내에서 3차원 디랙 점을 기술하며, 어떤 정적 3차원 격자에서도 실현될 수 없는 분산 관계를 갖는다. 이는 4차원 토폴로지 결정 절연체의 표면 물리와 유사하다.
• $D_4$ 대칭으로 보호되는 AFHOTIs의 경우 DDP 는 4중도로 비틀림되어 있으며, $D_4$ 점군 대칭에 의해 보호되며, 거울 대칭에 의해 제약을 받는 토폴로지 전하를 갖는다.
• $D_n$ 대칭으로 보호되는 AFHOTIs 의 분류는 차원 감소를 통해 달성되며, 이는 모서리 모드의 수와 대칭 보호 성질을 예측하는 고차원 토폴로지 인덱스를 도출한다.
• 이론은 명시적 모델을 통해 검증되었으며, $C_2$ 대칭 AFHOTI 와 $D_4$ 대칭 AFHOTI 는 모두 예측된 위상 경계에서 강건한 모서리 모드와 DDP 를 나타낸다.