[논문 리뷰] There is a VaR beyond usual approximations

Marie Kratz|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 01.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 33인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 중심극한정리(CLT)를 이용한 위험의 집합적 부분에 대한 정규근사와 극단치에 대한 정확한 순서통계량을 조합함으로써, 무거운 尾 꼬리 분포를 갖는 금융 및 보험 리스크 모델에서 Value-at-Risk(VaR)를 정확하게 추정하는 새로운 방법인 Normex를 제안한다. Normex는 표준 CLT 근사보다 훨씬 더 정확한 VaR 추정을 제공하며, 특히 작은 표본과 무거운 꼬리(α < 2)의 경우 상대 오차가 CLT보다 최대 13% 낮다. 또한 꼬리 지수와 표본 크기의 변화에 관계없이 강건성을 유지한다.

ABSTRACT

Basel II and Solvency 2 both use the Value-at-Risk (VaR) as the risk measure to compute the Capital Requirements. In practice, to calibrate the VaR, a normal approximation is often chosen for the unknown distribution of the yearly log returns of financial assets. This is usually justified by the use of the Central Limit Theorem (CLT), when assuming aggregation of independent and identically distributed (iid) observations in the portfolio model. Such a choice of modeling, in particular using light tail distributions, has proven during the crisis of 2008/2009 to be an inadequate approximation when dealing with the presence of extreme returns; as a consequence, it leads to a gross underestimation of the risks. The main objective of our study is to obtain the most accurate evaluations of the aggregated risks distribution and risk measures when working on financial or insurance data under the presence of heavy tail and to provide practical solutions for accurately estimating high quantiles of aggregated risks. We explore a new method, called Normex, to handle this problem numerically as well as theoretically, based on properties of upper order statistics. Normex provides accurate results, only weakly dependent upon the sample size and the tail index. We compare it with existing methods.

연구 동기 및 목표

• 무거운 꼬리 분포(α < 2)를 갖는 금융 및 보험 리스크의 VaR 추정에서 정규 근사(즉, CLT)의 부적합성을 해결하기 위해.
• 모든 표본 크기 n과 꼬리 지수 α에 대해 정확한 근사 분포를 제공하는 방법을 개발함으로써 고차 모멘트에 의존하지 않는 것을 목표로 한다.
• CLT의 느린 수렴과 집합적 처리 과정에서 꼬리 정보가 손실되는 문제(예: 일일 수익률에서 연간 수익률로의 변환)를 해결하여 극단 리스크의 과소평가를 방지하기 위해.
• 베를린 II 및 솔베니티 II 기준 하에서 자본 요구 기준을 개선하기 위해 리스크 관리자와 규제 기관이 실용적이고 일반화 가능한 솔루션을 제공하기 위해.
• empirical 데이터에 혼합 분포를 적합시킴으로써 Normex를 비지도 방법으로 꼬리 지수 추정에 활용할 수 있는 잠재력을 탐색하기 위해.

제안 방법

• Normex는 비극단 리스크의 합에 대해 CLT를 이용한 정규 근사를, 표본에서 k개의 최대 순서통계량에 대해 정확한 분포를 적용한다.
• 꼬리 지수 α와 존재하는 모멘트 수 p를 기반으로 상위 순서통계량 수 k를 선택함으로써 표본 크기와 꼬리 무거움에 대해 강건성을 확보한다.
• 형태 매개수 α를 갖는 i.i.d. 페아레토 분포 리스크의 합을 중심 부분(정규 분포로 근사)과 꼬리 부분(정확한 극단치 분포)으로 분해하여 모델링한다.
• 주어진 α 범위에 대해 k의 선택은 알고리즘적으로 결정되며, 이는 데이터 기반의 비지도 꼬리 모델링을 가능하게 한다.
• 이론적 분석은 정밀화된 Berry-Esséen 부등식과 일반화된 중심극한정리를 활용하여 근사 오차를 경계한다.
• 수치적 검증은 다양한 α와 n에 대해 시뮬레이션된 페아레토 표본을 이용해 Normex를 CLT, GCLT 및 EVT 기반 방법과 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 CLT 근사는 α < 2인 중간 또는 무거운 꼬리 분포(예: 페아레토 분포)의 집합적 리스크 VaR 추정에 대해 어떻게 작동하는가? 수렴 속도와 꼬리 과소평가 측면에서의 한계는 무엇인가?
• RQ2 분포의 중심부에 대해 CLT를, 극단치에 대해 정확한 순서통계량을 조합한 하이브리드 방법이 기존 방법보다 더 정확하고 강건한 집합적 리스크 분포 근사치를 제공할 수 있는가?
• RQ3 특히 작은 표본 크기와 낮은 꼬리 지수(α < 2) 조건에서, Normex는 CLT 대비 VaR 추정의 상대 오차를 얼마나 줄이는가?
• RQ4 Normex의 성능은 다양한 꼬리 지수 α와 표본 크기 n에 따라 어떻게 변화하는가? 다양한 꼬리의 무거움 수준에 대해 강건한가?
• RQ5 Empirical 데이터에 혼합 분포를 적합시킴으로써 Normex를 비지도 방법으로 꼬리 지수 α 추정에 활용할 수 있으며, 이는 기존의 임계값 기반 방법과 비교해 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• CLT 방법은 α < 2일 경우 VaR를 심각하게 과소평가하며, 작은 표본 크기(n)에서 상대 오차가 최대 13%에 이르며, α가 감소할수록 과소평가가 악화된다.
• α ≥ 2인 경우에도 CLT 기반 VaR는 항상 Normex 추정치보다 낮으며, 특히 작은 n과 낮은 α에서 차이가 가장 크게 나타나, 베를린 II 및 솔베니티 II 기준 하에서 체계적인 자본 과소평가를 암시한다.
• Normex는 CLT, GCLT 및 기존의 EVT 방법보다 진정한 집합적 리스크 분포를 더 정확하게 근사한다. 특히 꼬리 영역에서 성능이 뛰어나다.
• 이 방법의 정확도는 표본 크기와 꼬리 지수 α에 대해 약하게 의존하므로, 다양한 금융 및 보험 데이터 시나리오에 대해 강건성을 유지한다.
• VaR보다 더 일관된 리스크 측도인 예상손실(ES)은 CLT와 Normex 간의 차이가 더욱 크게 드러나며, 이는 더 나은 꼬리 모델링의 필요성을 강화한다.
• Normex는 종속 리스크 모델로 확장 가능하며, 실질적인 데이터에 혼합 분포를 적합시킴으로써 비지도 꼬리 지수 추정 도구로 활용 가능하다. 이는 기존의 임계값 기반 방법에 대한 새로운 대안을 제공한다.