[논문 리뷰] Thermal States of Anyonic Systems

S. Iblisdir, David Pérez-Garcı́a외 2명|arXiv (Cornell University)|2008. 12. 30.

Quantum many-body systems참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 열적 질서 파rameter로 상호정보량 $I_{\mathrm{topo}}$ 를 사용하여 2차원 anyonic 시스템에서 위상적 순서의 열적 안정성을 조사한다. 시스템 크기와 온도 사이의 스케일링 법칙을 수립하여, $I_{\mathrm{topo}}$ 가 열적 분포와 양자 차원에 의해 유도된 위상电하 분포 간의 쿨백-라이블러 발산에 의존함을 보이며, $D(S_3)$ 와 같은 비아벨 모델이 토릭 코드와 유사한 거동를 보임을 시사한다.

ABSTRACT

A study of the thermal properties of two-dimensional topological lattice models is presented. This work is relevant to assess the usefulness of these systems as a quantum memory. For our purposes, we use the topological mutual information $I_{\mathrm{topo}}$ as a "topological order parameter". For Abelian models, we show how $I_{\mathrm{topo}}$ depends on the thermal topological charge probability distribution. More generally, we present a conjecture that $I_{\mathrm{topo}}$ can (asymptotically) be written as a Kullback-Leitner distance between this probability distribution and that induced by the quantum dimensions of the model at hand. We also explain why $I_{\mathrm{topo}}$ is more suitable for our purposes than the more familiar entanglement entropy $S_{\mathrm{topo}}$. A scaling law, encoding the interplay of volume and temperature effects, as well as different limit procedures, are derived in detail. A non-Abelian model is next analysed and similar results are found. Finally, we also consider, in the case of a one-plaquette toric code, an environment model giving rise to a simulation of thermal effects in time.

연구 동기 및 목표

• 열 노이즈 하에서 위상적 격자 모델이 양자 메모리로 타당한지 평가하기 위해.
• 유한 온도에서 위상적 순서를 탐지하는 데에 엔트로피 $S_{\mathrm{topo}}$ 보다 $I_{\mathrm{topo}}$ 가 더 우월한 질서 파라미터가 되도록 확립하기 위해.
• 시스템 크기, 온도, 위상적 순서 유지 간의 상호작용을 정량화하는 스케일링 법칙을 유도하기 위해.
• 비아벨 모델, 특히 $D(S_3)$ 에까지 분석을 확장하고, 일반화된 스케일링 행동을 확인하기 위해.
• 열적 환경에 결합된 한 플라켓 토릭 코드 모델을 사용하여 열화 동역학과 $I_{\mathrm{topo}}$ 의 시간에 따른 변화를 시뮬레이션하기 위해.

제안 방법

• Kitaev-Preskill 및 Levin-Wen의 일반화된 위상적 엔트로피에서 유도된 상호정보량 $I_{\mathrm{topo}}$ 를 열적 질서 파라미터로 사용한다.
• 위상전하의 열적 분포와 anyon의 양자 차원 간의 관계를 설정하기 위해 쿨백-라이블러 발산(쿨백-라이블러 거리)을 이용한다.
• 정확한 대각화와 지그재그 상태의 군론적 분해를 통해 아벨(토릭 코드) 및 비아벨($D(S_3)$) anyonic 모델에 이 형식을 적용한다.
• 지그재그 상태의 스키모트 분해를 위해 몫군 $\mathbb{G}_{AB}/\mathbb{G}_{\mathrm{d}}$ 를 사용하여 $S(\rho_A)$ 와 그로 인해 유도되는 $I_{\mathrm{topo}}$ 를 계산한다.
• 열적 환경에 결합된 한 플라켓 토릭 코드 모델을 사용하여 열화 동역학과 $I_{\mathrm{topo}}$ 의 시간 진화를 시뮬레이션한다.
• 기저 상태의 상호수직성 보장을 위해 군론적 보조정리를 사용하여, 엔트로피 계산에 대한 스키모트 분해의 타당성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위상적 상호정보량 $I_{\mathrm{topo}}$ 는 위상적 격자 모델에서 온도와 시스템 크기의 함수로서 어떻게 행동하는가?
• RQ2 $I_{\mathrm{topo}}$ 는 열적 위상전하 분포와 anyon의 양자 차원에 의해 정의된 분포 간의 쿨백-라이블러 발산으로 점점 더 근사 표현될 수 있는가?
• RQ3 왜 $I_{\mathrm{topo}}$ 는 유한 온도에서 위상적 순서를 탐지하는 데에 $S_{\mathrm{topo}}$ 보다 더 적합한 질서 파라미터인가?
• RQ4 온도와 크기 변화에 따른 $I_{\mathrm{topo}}$ 의 스케일링 행동은 $D(S_3)$ 와 같은 비아벨 모델에서도 유지되는가?
• RQ5 작은 시스템(한 플라켓 토릭 코드)에서 열 효과는 개방 양자 시스템 접근법을 사용하여 효과적으로 시뮬레이션 가능한가?

주요 결과

• 토릭 코드의 경우, $I_{\mathrm{topo}}$ 는 유한한 시스템 크기와 온도에서만 비영이 되며, 일정한 온도 범위 동안 일정하게 유지된 후 0으로 감쇠된다.
• 스케일링 법칙은 시스템 크기를 증가시킬 경우, 체적 효과를 상쇄하기 위해 온도를 비례적으로 낮춰야 위상적 순서를 유지할 수 있음을 보여준다.
• 점점 더 근사된 형태로 $I_{\mathrm{topo}}$ 는 열적 위상전하 분포와 양자 차원에 의해 정의된 분포 간의 쿨백-라이블러 발산으로 주어진다.
• 비아벨 모델인 $D(S_3)$ 의 경우, $I_{\mathrm{topo}}$ 는 토릭 코드와 동일한 정성적 및 정량적 크기 및 온도 의존성을 보이며, 스케일링의 보편성을 확인한다.
• $D(S_3)$ 모델의 기저 상태는 $S(\rho_A) = \log_2 |S_3| (N_{\partial A} - 1)$ 를 만족하는 스키모트 분해를 갖는다. 여기서 $N_{\partial A}$ 는 경계 정점의 수이다.
• 한 플라켓 토릭 코드에서의 열 효과는 마스터 방정식 접근법을 사용하여 시뮬레이션 가능하며, 이는 $I_{\mathrm{topo}}$ 의 시간에 따른 감쇠를 시간 해상도로 연구할 수 있게 한다.