[논문 리뷰] Theta integrals and generalized error functions, II

Jens Funke, Stephen S. Kudla|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 09.

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한 줄 요약

이 논문은 부호가 (p,q)인 이차 공간의 음성 벡터 집합과 관련된 특이 q-정육면체와 단체 위에서 θ-형식을 적분하여, 일반화된 오차 함수를 갖는 비정상 θ-함수의 기하적 실현을 수립한다. 주요 결과는 이러한 적분이 해석적 모듈라 완비화를 유도하며, 교차 이론과 Weil 표현 기법을 통해 Zwegers 및 Alexandrov 등에 의한 구축을 일반화함을 보여준다.

ABSTRACT

Theta series for indefinite quadratic lattices were introduced by Zwegers, for signature (m-1,1), Alexandrov, Banerjee, Manschot and Pioline, for signature (m-2,2), and Nazaroglu, for signature (m-q,q). These series are modular modular completions, defined by means of generalized error functions, of certain non-modular holomorphic generating series associated to lattice vectors in positive cones. We show that these modular forms arise as integrals of the theta forms, defined in work of Millson and the second author, over certain singular q-cubes. We also give an explicit formula for the integrals of such forms over singular q-simplices. The sign function occurring in the holomorphic generating series arises as in intersection number of the singular q-cube or q-simplex with a totally geodesic subsymmetric space of codimension q. The cubical case for q=2 was treated in [11].

연구 동기 및 목표

• 특이 사이클 위에서 θ-형식의 적분과 관련지어 일반화된 오차 함수를 갖는 비정상 θ-함수의 기하적 해석을 제공한다.
• Zwegers 및 Alexandrov 등에 의한 해석적 모듈라 완비화를 임의의 부호 (p,q) 래티스로 일반화한다.
• 결과로 얻어진 비해석적 모듈라 형식이 대칭 공간 D 내의 특이 q-정육면체와 단체 위에서 닫힌 미분형식을 적분함으로써 유도됨을 확립한다.
• 비정상 래티스를 위한 모듈라 θ-급수를 구성하는 데 Weil 표현과 슈바르츠 형식의 역할을 명확히 한다.
• 특성 함수 Φq(x;C)가 D 내의 사이클 간의 가중 교차 수와 대응됨을 보여주어 수론과 기하학을 연결한다.

제안 방법

• 부호가 (p,q)인 이차 공간 내에서 좋은 위치에 있는 음성 벡터 집합 C = {C1, C1', ..., Cq, Cq'}를 사용해 특이 q-정육면체 φC: [0,1]^q → D를 정의하며, 모든 s ∈ [0,1]^q 에서 스칼라 곱의 범위가 음성 q-평면을 유지하도록 보장한다.
• q+1개의 일차독립 음성 벡터 C0,...,Cq를 사용해 특이 단체를 구성하며, 임의의 q개의 벡터가 음성 q-평면을 형성하도록 하여 부호가 (1,q)인 (q+1)-평면을 형성한다.
• 이러한 특이 사이클 위에서 θ-형식 θμ(τ, φKM)을 적분하여 비해석적 모듈라 형식을 생성한다.
• 메타플렉틱 군 작용에 대해 적절히 변환되는 Weil 표현을 사용해 슈바르츠 형식 φKM(τ,x) = v^{-(p+q)/4} ω(g'τ)φKM(x)를 정의한다.
• 내적의 부호, 즉 (x,Cj') - (x,Cj)의 부호를 통해 특성 함수 Φq(x;C)를 교차 수와 연결하여, 이가 교차의 전형적인 수의 가중치 합과 일치함을 보여준다.
• Vigneras의 모듈라 성질 기준을 사용해 등급군 Γ의 작용 하에서 변환 법칙을 검증함으로써 모듈라성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이 사이클 위에서 닫힌 미분형식을 적분한 결과로 나타나는 비정상 θ-함수는 대칭 공간 D 내에서 어떻게 기하학적으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 음성 벡터 집합에 어떤 조건이 필요할 경우, 관련된 특이 정육면체 또는 단체가 D 내에서 잘 정의된 사이클을 형성하고, 교차 성질이 제어 가능하게 되는가?
• RQ3 특성 함수 Φq(x;C)가 D 내 사이클 간의 위상적 교차 수와 어느 정도 일치하는가? 이는 해석적 모듈라 완비화와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 특이 사이클 위에서 θ-형식을 적분하는 방식으로 이전에 일반화된 오차 함수를 통해 얻어진 비해석적 모듈라 완비화가 어떻게 복원되는가?
• RQ5 Weil 표현과 슈바르츠 형식은 통합 후 결과로 얻어진 급수의 모듈라성을 보장하는 데 어떤 정확한 역할을 하는가?

주요 결과

• Φq(x;C) = 2^{-q} ∏_{j=1}^q (sgn(x,Cj') - sgn(x,Cj)) 로 정의된 비정상 θ-급수는 사이클 ρC(U)와 D 내의 codimension q 사이클 Dx 사이의 가중 교차 수로 나타난다.
• 좋은 위치에 있는 집합 C에 대해, 특이 q-정육면체 S^□(C) 위에서 θ-형식 θμ(τ, φKM)을 적분하면, H^q(Γ\D) 값을 갖는 비해석적 모듈라 형식이 된다. 이 형식의 무게는 (p+q)/2 이다.
• 특성 함수 Φq(x;C)는 (-1)^q Φq(x;C) = 2^{-r} I(Dx, ρC(U)) 라는 항등식을 만족하며, 여기서 r는 s(x)를 통과하는 벽의 수이다. 이는 교차의 부호가 있는 가중치 합임을 보여준다.
• 해석적 급수 ∑_{x∈h+L} Φq(x;C) q^{Q(x)} 의 모듈라 완비화는 특이 사이클 위에서 θ-형식을 적분함으로써 실현되며, 이는 Vigneras의 기준을 통해 모듈라성의 확인을 가능하게 한다.
• 오차 함수의 구조와 래티스 기하학을 연결하는 도함수 항등식 x_j ∂/∂x_j E_q(C;x) = 2 (x, C_j) E_{q-1}(C[j]; x_⊥j) e^{-π(x, C_j)^2} 이 유도된다.
• Zwegers (q=1), Alexandrov 등 (q=2), Nazaroglu (일반 q)의 이전 결과를 통합하여, 특이 사이클 위에서의 적분이라는 단일 기하학적 프레임워크 아래에서 일반화된 결과를 도출한다.