[논문 리뷰] Tightness, weak compactness of nonlinear expectations and application to CLT

Shigē Péng|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 13.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 14인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 비선형 기대의 가족에 대한 날것의 개념을 도입하고, 비선형 기대 공간에서 약한 컴팩트성(weak compactness)을 확립함으로써, 모델 불확실성 하에서 중심극한정리(Central Limit Theorem, CLT)에 대한 새로운 확률적 증명을 가능하게 한다. 이 방법은 확률 미분법과 PDE의 점성해법( viscosity solutions )에 기반하며, 이전의 PDE 기반 증명에 대한 구조적 대안을 제공하고, 퇴화된 비선형 PDE의 수치적 해법에 대한 수렴 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we introduce a notion of tightness for a family of nonlinear expectations and show that the tightness can be applied to obtain weak compactness in a framework of nonlinear expectation space. This criterion is very useful for obtaining the weak convergence for a sequence of nonlinear expectations, which is a equivalent to the so-called convergence in distribution, or in law for a sequence of random variables in a nonlinear expectation space. We use the above result to give a new proof to the central limit theorem under a sublinear expectation space. The method can be also applied to prove the convergence of some numerical schemes for degenerate fully nonlinear PDEs.

연구 동기 및 목표

• 부분선형 기대 공간 내에서 비선형 기대의 가족에 대한 날것의 개념을 개발하는 것.
• 고전적 약한 수렴을 비선형 프레임워크로 일반화하는 약한 컴팩트성 기준을 확립하는 것.
• 깊은 PDE 추정치를 피하는 방식으로, 부분선형 기대 하에서 중심극한정리에 대한 새로운 확률적 증명을 제공하는 것.
• 퇴화된 완전 비선형 PDE의 해 존재성을 증명하기 위한 구조적 방법을 제공하는 것.
• 퇴화된 완전 비선형 PDE의 수치적 해법에 대한 수렴 분석을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 확률 이론의 고전적 날것 개념을 일반화한, 비선형 기대의 가족에 대한 새로운 날것 조건을 도입하는 것.
• 부분선형 기대를 가족의 선형 기대들에 대한 상한으로 표현하는 표현 정리(Representation Theorem)를 사용하는 것.
• 날것을 통해 약한 컴팩트성을 확립함으로써, 비선형 기대의 수렴이 분포 수렴과 동치가 되도록 보장하는 것.
• 자기유사성과 비선형 기대 하에서 독립성 조건을 만족하는 증분을 갖는 독립적이고 동일한 분포를 가진 랜덤 변수의 수열을 구성하는 것.
• 함수 $ u(t,x) = \mathbb{E}[\varphi(x + \xi_t)] $를 정의하고, 점성해법 기법을 통해 이 함수가 완전 비선형 PDE를 만족함을 보이는 것.
• 점성해법 의미에서 PDE $ \partial_t u - G(D^2 u) = 0 $를 만족함을 확인함으로써, $ \xi_1 $이 $ G $-정규분포를 이룬다는 것을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 날것 기준을 비선형 기대 공간으로 일반화하여 약한 컴팩트성을 보장할 수 있는가?
• RQ2 모델 불확실성 하에서 중심극한정리를 증명할 때, 깊은 PDE 추정치를 피하는 확률적 방법을 사용할 수 있는가?
• RQ3 비선형 기대 하에서 독립적이고 정적 증분을 갖는 구성된 확률과정이 $ G $-정규분포를 갖는가?
• RQ4 이 프레임워크를 사용하여 퇴화된 완전 비선형 PDE의 해 존재성을 증명할 수 있는가?
• RQ5 이 접근법을 퇴화된 비선형 PDE의 수치적 해법 수렴 분석으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 비선형 기대의 가족에 대한 날것 조건이 부분선형 기대 프레임워크에서 약한 컴팩트성으로 이어진다.
• 부분선형 기대 하에서 중심극한정리는 완전 비선형 포물형 PDE의 추정치에 의존하지 않는 방식으로 확률적으로 증명된다.
• 극한 랜덤 변수 $ \xi_1 $은 $ G $-정규분포를 가지며, $ G(A) = \mathbb{E}[\langle A\xi_1, \xi_1 \rangle]/2 $ 를 만족한다.
• 함수 $ u(t,x) = \mathbb{E}[\varphi(x + \xi_t)] $ 는 PDE $ \partial_t u - G(D^2 u) = 0 $ 의 유일한 점성해(solution)이다.
• 이 방법은 퇴화된 완전 비선형 PDE의 해 존재성을 증명하기 위한 페론의 방법(Perron’s method)에 대한 구조적 대안을 제공한다.
• 이 프레임워크는 더 일반적인 극한정리로 확장 가능하며, 예를 들어 $ \sum_{i=1}^n (X_i/\sqrt{n} + Y_i/n) \to (\xi, \eta) $ 와 같이, $ u(t,x) $ 가 $ \partial_t u - G(Du, D^2 u) = 0 $ 을 만족함을 의미한다.