[논문 리뷰] Time Consistent Bid-Ask Dynamic Pricing Mechanisms for Contingent Claims and Its Numerical Simulations Under Uncertainty

Wei Chen|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 18.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 펑의 G-프레임워크를 사용하여 변동성과 드리프트 불확실성 하에서 유럽 연계 상품에 대한 시간 일관성 있는 동적 매수매도 가격 설정 메커니즘을 제안한다. 가격 설정은 G-열 방정식에서 유도된 완전히 비선형인 편미분방정식의 점성해로 모델링되며, 수치 시뮬레이션을 위해 단조성 있는 암시적 유한차분 스킴을 구현하여 디지털 옵션과 벌레이션 옵션의 매수매도 가격 궤적에서 수렴성과 안정성을 입증한다.

ABSTRACT

We study time consistent dynamic pricing mechanisms of European contingent claims under uncertainty by using G framework introduced by Peng ([24]). We consider a financial market consisting of a riskless asset and a risky stock with price process modelled by a geometric generalized G-Brownian motion, which features the drift uncertainty and volatility uncertainty of the stock price process. Using the techniques on G-framework we show that the risk premium of the asset is uncertain and distributed with maximum distribution. A time consistent G-expectation is defined by the viscosity solution of the G-heat equation. Using the time consistent G-expectation we define the G dynamic pricing mechanism for the claim. We prove that G dynamic pricing mechanism is the bid-ask Markovian dynamic pricing mechanism. The full nonlinear PDE is derived to describe the bid (resp. ask) price process of the claim. Monotone implicit characteristic finite difference schemes for the nonlinear PDE are given, nonlinear iterative schemes are constructed, and the simulations of the bid (resp. ask) prices of contingent claims under uncertainty are implemented.

연구 동기 및 목표

• 드리프트와 변동성에 대한 모델 불확실성을 포함한 유럽 연계 상품에 대한 시간 일관성 있는 동적 가격 설정 메커니즘을 개발한다.
• 일반화된 기하학적 G-브라운 motion을 사용하여 자산 가격 운동을 모델링하여 드리프트와 변동성 불확실성을 모두 반영한다.
• G-열 방정식의 점성해로부터 유도된 시간 일관성 있는 G-기대값에 기반한 매수매도 동적 가격 설정 메커니즘을 정의한다.
• 연계 상품의 매수 및 매도 가격 과정을 지배하는 완전히 비선형인 편미분방정식을 유도하고 수치적으로 해석한다.
• 수치 시뮬레이션을 위해 단조성 있는 암시적 유한차분 스킴을 구현하고, 매수매도 가격 표면의 수렴성과 안정성을 검증한다.

제안 방법

• 유한한 간격 내에서 드리프트와 변동성 불확실성을 반영하기 위해 일반화된 기하학적 G-브라운 motion을 사용하여 위험 자산 가격을 모델링한다.
• G-열 방정식의 점성해를 통해 시간 일관성 있는 G-기대값을 정의하여 가격 설정의 동적 일관성을 보장한다.
• G-기대값 프레임워크에서 유도된 비선형 편미분방정식을 해석하여 매수매도 동적 가격 설정 메커니즘을 구축한다.
• 비선형 편미분방정식에 대한 단조성 있는 암시적 특성 유한차분 스킴을 개발하여 안정성과 수렴성을 확보한다.
• 각 시간 단계에서 비선형 연립방정식을 해석하기 위해 비선형 반복 스킴을 개발하였으며, M-행렬 성질을 통해 수렴성이 증명되었다.
• 지정된 격자 파arameter와 오차 한계를 사용하여 디지털 옵션과 벌레이션 옵션의 매수매도 가격 표면을 시뮬레이션한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 드리프트와 변동성 불확실성 하에서 연속적인 동적 매수매도 가격 설정 메커니즘은 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 G-기대값은 모델 불확실성 하에서 가격 설정의 동적 일관성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 매수 및 매도 가격 과정은 연계 상품의 수익 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 단조성 유한차분 스킴은 매수매도 가격을 지배하는 비선형 편미분방정식의 점성해로 수렴할 수 있는가?
• RQ5 어떤 수치적 증거가 시뮬레이션된 매수매도 가격 표면의 안정성과 정확성을 뒷받침하는가?

주요 결과

• G-프레임워크 하에서 위험 자산의 리스크 프리미엄은 최악의 시나리오를 반영하여 최대분포를 이룬다.
• 매수매도 동적 가격 설정 메커니즘이 마코프성과 시간 일관성을 갖추어 시간에 따라 일관성을 유지함을 입증하였다.
• 매수 및 매도 가격 과정은 G-열 방정식에서 유도된 완전히 비선형인 편미분방정식을 만족하며, 예상대로 매도 가격이 매수 가격보다 높다.
• 단조성 유한차분 스킴은 점성해로 수렴하며, 반복값들은 비감소하고 유계인 수열을 형성하여 유일한 해로 수렴한다.
• 디지털 옵션과 벌레이션 옵션에 대한 수치 시뮬레이션은 매도 가격 표면이 수익 함수의 단조성과 볼록성, 매수 가격 표면이 볼록성과 오목성을 유지함을 확인한다.
• K=100, T=0.5, r=0.10, σ∈[0.15,0.25], Δt=0.0025인 디지털 옵션의 경우, 시뮬레이션된 표면 전반에 걸쳐 명확하고 안정적인 매수매도 스프레드가 관찰된다.