[논문 리뷰] Topological correlators of $SU(2)$, $\mathcal{N}=2^*$ SYM on four-manifolds

Jan Manschot, Gregory W. Moore|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 13.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 137인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $b_2^+ \geq 1$인 매끄럽고 컴act한 4차원 다양체 위에서 $\mathcal{N}=2^*$, $SU(2)$ 초대칭 양-밀스 이론에 대해 위상적 상관함수에 대한 명시적 공식을 유도하며, $S$- dualit의 작용에 대해 올바르게 변환하고, $b_2^+ = 1$일 경우 믹스드 모듈라 형식임을 보여준다. $\mathrm{Spin}^c$ 구조를 통한 일관된 수식화를 확립하고, $m \to 0$ (Vafa-Witten) 및 $m \to \infty$ (Donaldson-Witten) 극한에서 알려진 결과를 복원하며, 순간자 모듈리 공간 위의 물질 번들의 오일러 수에 대한 생성함수로 분할 함수의 해석적 부분을 특정한다.

ABSTRACT

We consider topologically twisted $\mathcal{N}=2$, $SU(2)$ gauge theory with a massive adjoint hypermultiplet on a smooth, compact four-manifold $X$. A consistent formulation requires coupling the theory to a ${ m Spin}^c$ structure, which is necessarily non-trivial if $X$ is non-spin. We derive explicit formulae for the topological correlation functions when $b_2^+\geq 1$. We demonstrate that, when the ${ m Spin}^c$ structure is canonically determined by an almost complex structure and the mass is taken to zero, the path integral reproduces known results for the path integral of the $\mathcal{N}=4$ gauge theory with Vafa-Witten twist. On the other hand, we reproduce results from Donaldson-Witten theory after taking a suitable infinite mass limit. The topological correlators are functions of the UV coupling constant $τ_{ m uv}$ and we confirm that they obey the expected $S$-duality transformation laws. The holomorphic part of the partition function is a generating function for the Euler numbers of the matter (or obstruction) bundle over the instanton moduli space. For $b_2^+=1$, we derive a non-holomorphic contribution to the path integral, such that the partition function and correlation functions are mock modular forms rather than modular forms. We comment on the generalization of this work to the large class of $\mathcal{N}=2$ theories of class $S$.

연구 동기 및 목표

• 4차원 다양체에서 $b_2^+ \geq 1$인 $\mathcal{N}=2^*$, $SU(2)$ SYM 이론에 대해 위상적 상관함수에 대한 명시적 공식을 도출한다.
• 비스핀 다각형에 대해서도 일관된 수식화를 가능하게 하는 $\mathrm{Spin}^c$ 구조를 통한 위상적으로 뒤집힌 이론의 수식화를 확립한다.
• 분할 함수와 상관함수가 $S$- dualit에 대해 정확히 변환됨을 보여주며, 모듈라 성질을 확인한다.
• 경계 조건 $m \to 0$에서 경로 적분이 $\mathcal{N}=4$ 이론에 대한 Vafa-Witten 결과를 재현함을 보인다.
• $m \to \infty$ 극한에서 Donaldson-Witten 불변량을 복원하며, $\mathcal{N}=2^*$ 이론과 Donaldson 이론을 연결한다.

제안 방법

• 유니버설 커플링 $\tau_{\rm uv}$와 질량 매개변수 $m$을 고려한 $\mathrm{Spin}^c$ 구조와 특성 클래스 $c_{\rm uv}$를 사용하여 경로 적분을 수립한다. 이는 질량이 있는 순수 기본 히퍼멀티플릿이 존재할 경우에도 일관된 커플링을 보장한다.
• 위상적 상관함수는 homology 클래스에 대한 형식적 급수로 계산되며, 수정된 프리패텐셜 $\tilde{\mathcal{F}}$를 포함하는 쿨롱가지 적분을 통해 생성 함수로 표현된다.
• $b_2^+ = 1$인 경우, 분할 함수가 모듈라 형식이 아니라 믹스드 모듈라 형식으로 변환되도록 하기 위해 비해석적 보정항을 도출한다.
• 분할 함수의 해석적 부분은 순간자 모듈리 공간 위의 물질 번들의 오일러 수에 대한 생성함수로 특정된다.
• $\tau_{\rm uv} \to -1/\tau_{\rm uv}$ 변환 하에서 분할 함수의 모듈라 성질을 분석함으로써 $S$- dualit 변환 법칙을 검증한다.
• 쿨롱가지 적분의 점근적 분석을 통해 $m \to 0$ 및 $m \to \infty$ 극한을 취하며, $\mathcal{N}=4$ 및 Donaldson-Witten 이론에서 알려진 결과를 재현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 4차원 다양체 위에서 $\mathcal{N}=2^*$, $SU(2)$ SYM 이론의 위상적 상관함수는 유니버설 커플링 $\tau_{\rm uv}$와 질량 매개변수 $m$에 따라 어떻게 의존하는가?
• RQ2 특히 비스핀 다각형에서 위상 이론을 수식화할 때 $\mathrm{Spin}^c$ 구조의 역할은 무엇인가?
• RQ3 분할 함수와 상관함수는 $S$- dualit에 대해 어떻게 행동하며, 이들은 모듈라 형식 또는 믹스드 모듈라 형식으로 변환되는가?
• RQ4 $m \to 0$ 및 $m \to \infty$ 극한에서 어떤 일이 일어나며, 이는 $\mathcal{N}=4$ 및 Donaldson-Witten 이론에서 알려진 결과를 재현하는가?
• RQ5 분할 함수의 해석적 부분과 순간자 모듈리 공간 위의 물질 번들의 오일러 수 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 위상적 상관함수는 전체 미분항까지는 메트릭 변형에 대해 불변임을 보여, 매끄러운 다각형 불변량임을 확인한다.
• $b_2^+ = 1$일 경우 분할 함수는 믹스드 모듈라 형식이며, 모듈라 성질을 확보하기 위해 비해석적 보정항이 필요하다.
• 분할 함수의 해석적 부분은 순간자 모듈리 공간 위의 물질 번들의 오일러 수에 대한 생성함수로 기능한다.
• $m \to 0$ 극한에서 경로 적분은 알려진 Vafa-Witten 변형 $\mathcal{N}=4$ 이론 결과를 재현한다.
• $m \to \infty$ 극한에서 이론은 Donaldson-Witten 이론으로 축소되며, Seiberg-Witten 사상에 의해 Donaldson 불변량이 복원된다.
• $S$- dualit 변환 법칙이 확인되었다: 분할 함수는 $\tau_{\rm uv} \to -1/\tau_{\rm uv}$에 대해 정확히 변환되며, 커플링 $\tau_{\rm uv}$는 모듈라 매개변수로 작용한다.