[논문 리뷰] Topological invariants of symmetry-protected and symmetry-enriched topological phases of interacting bosons or fermions

Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 31.

Quantum Mechanics and Applications인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 상호작용하는 보존 또는 페르미온의 대칭성 보호 위상이 $\mathcal{H}^d(SG, \mathbb{R}/\mathbb{Z})$의 군 코homology 클래스를 사용하여 분류될 수 있으며, 점 결함에서의 분수화된 양자수 및 결함 선/막대에서의 분수화된 SPT 위상이 이러한 위상의 실험적으로 측정 가능한 서명으로 기능함을 보여준다. 주요 결과로는 $Z_n$ SPT 상태에서 $n$ 개의 단일성 결함이 총 $Z_n$-전하 $2m$를 지닌다. 여기서 $m$은 $\mathcal{H}^3(Z_n, \mathbb{R}/\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}_n$ 내의 SPT 위상을 표기한다.

ABSTRACT

Recently, it was realized that quantum states of matter can be classified as long-range entangled (LRE) states (i.e. with non-trivial topological order) and short-range entangled (SRE) states (\ie with trivial topological order). We can use group cohomology class ${\cal H}^d(SG,R/Z)$ to systematically describe the SRE states with a symmetry $SG$ [referred as symmetry-protected trivial (SPT) or symmetry-protected topological (SPT) states] in $d$-dimensional space-time. In this paper, we study the physical properties of those SPT states, such as the fractionalization of the quantum numbers of the global symmetry on some designed point defects, and the appearance of fractionalized SPT states on some designed defect lines/membranes. Those physical properties are SPT invariants of the SPT states which allow us to experimentally or numerically detect those SPT states, i.e. to measure the elements in ${\cal H}^d(G, R/Z)$ that label different SPT states. For example, 2+1D bosonic SPT states with $Z_n$ symmetry are classified by a $Z_n$ integer $m \in {\cal H}^3(Z_n, R/Z)=Z_n$. We find that $n$ identical monodromy defects, in a $Z_n$ SPT state labeled by $m$, carry a total $Z_n$-charge $2m$ (which is not a multiple of $n$ in general).

연구 동기 및 목표

• d차원 SRE 위상 위상에서 전역 대칭 $SG$를 사용하여 군 코homology $\u005c mathcal{H}^d(SG, \mathbb{R}/\mathbb{Z})$를 사용해 체계적으로 분류하는 것.
• 점 결함에서의 분수화된 양자수와 같은 물리적 관측 가능량을 SPT 상태의 위상 불변량으로 식별하는 것.
• 결함 선 또는 막대가 하위차원 SPT 위상을 수용할 수 있음을 보여주어 기저 위상 순서를 탐지하는 데 기여하는 것.
• d차원 시공간에서 추상적인 코homology 클래스와 측정 가능한 물리적 양 사이의 직접적인 연결을 수립하는 것.
• 설계된 위상적 결함에서 대칭 양자수를 측정하여 실험적 또는 수치적으로 SPT 위상을 탐지할 수 있는 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• d차원 SPT 위상 위에서 전역 대칭 $SG$를 사용하여 군 코homology $\u005c mathcal{H}^d(SG, \mathbb{R}/\mathbb{Z})$를 사용해 분류하는 것.
• SPT 상태에서 점형 결함(예: 단일성 결함)에서의 전역 대칭 양자수의 분수화를 분석하는 것.
• 배경 SPT 상태 내에서 결함 선 및 막대를 구성하여 하위차원 SPT 위상을 수용함으로써 대칭이 풍부해진 위상 순서를 드러내는 것.
• SPT 상태에서 $n$ 개의 동일한 단일성 결함이 총 $Z_n$-전하 $2m$를 지닌다는 것을 유도하는 것. 여기서 $m \in \mathbb{Z}_n$이다.
• 위상장 이론 및 anyonic 통계를 이용해 결함이 대칭 플럭스와 anyon의 끈적임에 반응하는 방식을 계산하는 것.
• 코homology 클래스 $m \in \u005c mathcal{H}^3(Z_n, \mathbb{R}/\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}_n$가 $n$ 개의 결함 총 전하를 통해 측정 가능하다는 것을 입증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군 코homology $\u005c mathcal{H}^d(SG, \mathbb{R}/\mathbb{Z})$를 통한 SPT 위상 분류가 측정 가능한 물리적 관측 가능량과 어떻게 연결될 수 있는가?
• RQ2 $Z_n$ SPT 상태에서 점 결함에서의 대칭 양자수 분수화는 무엇인가?
• RQ3 배경 SPT 상태의 결함 선 또는 막대가 자체의 분수화된 SPT 순서를 수용할 수 있는가?
• RQ4 $Z_n$ SPT 상태에서 $m$로 표기된 위상에 따라 $n$ 개의 단일성 결함이 총 $Z_n$-전하를 얼마나 지닌다?
• RQ5 코homology 클래스 $m \in \u005c mathcal{H}^3(Z_n, \mathbb{R}/\mathbb{Z})$는 실험적 또는 수치적으로 어떻게 탐지할 수 있는가?

주요 결과

• $Z_n$ SPT 상태에서 동일한 $n$ 개의 단일성 결함이 지닌 $Z_n$-전하는 $2m$이며, 여기서 $m \in \mathbb{Z}_n$은 SPT 위상을 표기한다.
• 이 총 전하 $2m$는 반드시 $n$의 배수는 아니며, 이는 비자명한 위상적 반응임을 나타내며 SPT 위상의 비자명성을 확인한다.
• 군 코homology 클래스 $\u005c mathcal{H}^3(Z_n, \mathbb{R}/\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}_n$는 $Z_n$ 대칭을 가진 2+1차원 보존 SPT 상태를 완전히 분류한다.
• 결함에서의 전역 대칭 양자수 분수화는 서로 다른 SPT 위상을 구별하는 물리적 불변량을 제공한다.
• 결함 선 및 막대는 하위차원 SPT 상태를 수용할 수 있으며, 이는 시스템 내에서 대칭이 풍부해진 위상 순서를 드러낸다.
• 측정 가능한 위상 불변량(예: $n$ 개의 결함에서의 총 전하)을 통해 코homology 클래스 $m$의 실험적 또는 수치적 탐지가 가능하다.