[논문 리뷰] Topological monoids of almost monotone injective co-finite partial selfmaps of positive integers

Ivan Chuchman, Олег Гутік|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 24.

semigroups and automata theory참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 양의 정수 위의 거의 단조적, 단사적, 여집합이 유한한 부분 자기사상들의 집합인 $\omega_{\infty}^\Rsh\!\!\nearrow(\mathbb{N})$의 위상수학적 및 대수적 구조를 조사한다. 이 세미군이 이단순적임을 입증하고, 모든 비자명한 군 준동형사상이 동형사상 또는 군 준동형사상임을 보이며, 이 세미군이 위상적 세미군이 되게 하는 바이어 토폴로지라면 반드시 이산적임을 밝힌다. 논문은 위상적 세미군 내에서의 닫힘을 특성화하고, 구조에 비이산적이고 하우스도르프인 세미군 토폴로지를 구성한다.

ABSTRACT

In this paper we study the semigroup $I_\infty^\dnearrow(N)$ of partial co-finite almost monotone bijective transformations of the set of positive integers $\mathbb{N}$. We show that the semigroup $I_\infty^\dnearrow(N)$ has algebraic properties similar to the bicyclic semigroup: it is bisimple and all of its non-trivial group homomorphisms are either isomorphisms or group homomorphisms. Also we prove that every Baire topology $τ$ on $I_\infty^\dnearrow(N)$ such that $(I_\infty^\dnearrow(N),τ)$ is a semitopological semigroup is discrete, describe the closure of $(I_\infty^\dnearrow(N),τ)$ in a topological semigroup and construct non-discrete Hausdorff semigroup topologies on $I_\infty^\dnearrow(N)$.

연구 동기 및 목표

• 양의 정수 $\mathbb{N}$ 위의 거의 단조적, 단사적, 여집합이 유한한 부분 자기사상들의 세미군 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$의 대수적 및 위상적 성질을 분석하는 것.
• 세미군이 위상적 세미군이 되게 하는 바이어 토폴로지의 조건을 규명하는 것.
• 위상적 세미군 내에서 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$의 닫힘을 특성화하는 것.
• 비이산적 하우스도르프 세미군 토폴로지를 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$에 구성하는 것.

제안 방법

• 저자들은 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$를 $\mathbb{N}$ 위의 단사적, 여집합이 유한한 부분사상 중에서 유한한 집합 외부에서는 단조적인 것들로 정의한다.
• 그들은 그린의 관계($\mathscr{R}, \mathscr{L}, \mathscr{D}, \mathscr{H}$)를 사용하여 대수적 구조를 분석하고, 이 세미군이 이단순적임을 보인다.
• 논문은 밀도가 있는 이산적 부분세미군과 세미군 연산의 연속성에 기반한 위상적 추론을 적용하여, 이 세미군이 위상적 세미군이 되게 하는 어떤 바이어 토폴로지도 반드시 이산적이어야 한다는 것을 증명한다.
• 그들은 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$의 임의의 $c$에 대해 $D_c(A) = \{(x,y) \mid x\cdot y = c\}$ 가 $S \times S$ 에서 열려 있고 닫혀 있음을 이산성과 아이디얼 성질을 이용해 증명한다.
• 저자들은 역세미군의 성질과 허위 컴팩트성의 추론을 사용하여, $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 가 밀도가 있는 이산적 부분세미군이라면 $S \times S$ 는 허위 컴팩트가 될 수 없다는 것을 보인다.
• 그들은 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 위의 이산 토폴로지를 더 큰 세미군 구조로 확장하여 비이산적 하우스도르프 세미군 토폴로지를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 토폴로지에서 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 가 위상적 세미군이 되는가?
• RQ2 바이어 토폴로지가 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 를 위상적 세미군으로 만들기 위한 필요 조건은 무엇인가?
• RQ3 더 큰 위상적 세미군 내에서 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 의 닫힘은 어떻게 행동하는가?
• RQ4 비이산적 하우스도르프 세미군 토폴로지를 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 에 구성할 수 있는가?
• RQ5 위상적 세미군에 밀도가 있는 이산 부분세미군으로서 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 를 통합할 때 발생하는 위상적 장애물은 무엇인가?

주요 결과

• 세미군 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 는 이단순적임을 의미하며, 모든 원소들이 $\mathscr{D}$-동치이다.
• 세미군 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 에서 다른 군으로의 모든 비자명한 군 준동형사상은 동형사상 또는 군 준동형사상이다.
• 세미군이 위상적 세미군이 되게 하는 바이어 토폴로지 $\tau$ 는 반드시 이산적이어야 한다.
• 위상적 세미군 $S$ 내에서 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 의 닫힘은 $S$ 의 닫힌 부분세미군이다.
• 세미군 $S$ 가 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 를 밀도가 있는 이산 부분세미군으로 포함하고 있다면, 그 제곱 $S \times S$ 는 허위 컴팩트가 될 수 없다.
• 비이산적 하우스도르프 세미군 토폴로지가 $\mathscr{I}_{\infty}^{\Rsh\!\!\nearrow}(\mathbb{N})$ 에 존재함을 보여, 세미군 토폴로지에 있어 이산성은 필수적이지 않음을 입증한다.