[논문 리뷰] Topological properties of Taimanov semigroups

Олег Гутік|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 27.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 11인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 Taimanov 반군—유일한 영원소와 특수한 무한원소를 가진 교환 반군—이 연속적인 이동을 갖는 비이산적 $T_1$-위상수학을 가질 수 없음을 증명한다. 이는 모든 그러한 위상수학이 이산적이어야 하며, Taimanov 반군이 그들을 포함하는 $T_1$-위상 반군에서 닫혀 있으며, 모든 서로동형이 아닌 환상은 영반군이 되므로 어떤 위상수학에서도 위상 반군이 된다는 것을 보여준다. 이러한 결과들은 Taimanov가 이전에 발표한 비위상화 가능한 반군에 관한 연구를 일반화하고 강화한다.

ABSTRACT

A semigroup $T$ is called Taimanov if $T$ contains two distinct elements $0,\infty$ such that $xy=\infty$ for any distinct points $x,y\in T\setminus\{0,\infty\}$ and $xy=0$ in all other cases. We prove that any Taimanov semigroup $T$ has the following topological properties: (i) each $T_1$-topology with continuous shifts on $T$ is discrete; (ii) $T$ is closed in each $T_1$-topological semigroup containing $T$ as a subsemigroup; (iii) every non-isomorphic homomorphic image $Z$ of $T$ is a zero-semigroup and hence $Z$ is a topological semigroup in any topology on $Z$.

연구 동기 및 목표

• Taimanov 반군의 $T_1$-위상수학에서 연속적인 이동을 갖는 위상 실현 가능성에 대해 조사한다.
• Taimanov의 원래 결과를 일반화하여, 더 강력한 닫힘 및 이산성 성질을 증명함으로써 비이산적 위상화 가능한 반군에 대한 연구를 확장한다.
• Taimanov 반군의 서로동형이 아닌 환상의 구조를 특성화하고, 그 위상적 행동을 분석한다.
• Taimanov 반군이 $T_1$-위상 반군의 범주에서 대수적으로 완전함을 확립한다.

제안 방법

• 서로 다른 영원소가 아니며 무한원소도 아닌 원소들 간의 곱이 항상 무한원소가 되고, 나머지 모든 곱은 영원소가 되는 이진 연산을 통해 Taimanov 반군을 정의한다.
• 이동 연속성과 $T_1$ 분리성을 사용하여, 연속적인 이동을 갖는 모든 $T_1$-위상수학에서 $0_T$와 $\infty_T$가 고립점임을 보인다.
• 좌우 곱셈의 연속성을 이용한 모순에 기반하여, 영원소이지도 않고 무한원소도 아닌 각 원소가 고립점임을 증명한다.
• 핵의 구조와 곱의 행동을 분석함으로써, Taimanov 반군의 서로동형이 아닌 환상이 영반군임을 보인다.
• 영반군의 곱셈 연산이 상수이므로 어떤 위상수학에서도 연속적이므로, 이러한 환상이 위상 반군이 되는 것을 보인다.
• 이 결과들을 적용하여, Taimanov 반군이 $T_1$-위상 반군에서 닫혀 있으며, 그 범주에서 대수적으로 완전함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Taimanov 반군은 연속적인 좌·우 이동을 갖는 비이산적 $T_1$-위상수학을 가질 수 있는가?
• RQ2 Taimanov 반군은 그를 부분반군으로 포함하는 어떤 $T_1$-위상 반군에서도 반드시 닫혀 있는가?
• RQ3 Taimanov 반군의 서로동형이 아닌 환상의 구조는 어떠한가?
• RQ4 Taimanov 반군의 모든 서로동형이 아닌 환상은 어떤 위상수학에서도 위상 반군이 되는가?
• RQ5 Taimanov 반군에 대해 $T_1$-위상 반군의 범주가 대수적으로 완전함을 갖는가?

주요 결과

• Taimanov 반군에 대한 모든 $T_1$-위상수학은 연속적인 이동을 갖는 이상 이산적이며, 기수에 관계없이 성립한다.
• Taimanov 반군은 그를 부분반군으로 포함하는 어떤 $T_1$-위상 반군에서도 닫혀 있다.
• Taimanov 반군의 서로동형이 아닌 환상은 항상 영반군이다.
• 모든 영반군은 곱셈 연산이 상수이므로 어떤 위상수학에서도 위상 반군이 된다.
• Taimanov 반군은 $T_1$-위상 반군의 범주에서 대수적으로 완전하며, 즉 그들을 포함하는 어떤 그러한 반군에서도 닫혀 있다.
• 닫힘 결과를 확보하기 위해 제곱 함수의 연속성이 필수적이다. $m \geq 3$인 $x \mapsto x^m$과 같은 고차항 거듭제곱 함수의 연속성만으로는 닫힘을 보장할 수 없다.