[논문 리뷰] Topological Order and Symmetry Anomaly on the Surface of Topological Crystalline Insulators

Sungjoon Hong, Liang Fu|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 09.

nanoparticles nucleation surface interactions인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 반사 대칭으로 보호되는 표면에서 대칭을 유지하는 아벨 위상적 순서를 실현하는 미세 구조 해밀토니안을 구성한다. 커플드 와이어 방법을 사용하여 SnTe의 n=2 디рак 페르미온 복사에서 페르미온적 ℤ₄ 위상적 순서를 입증하며, 두 개의 평행한 거울 평면이 anyon에 대해 다르게 작용하는 새로운 반사 대칭 이상 현상과 전하-스핀 자기 dual 성질, 비자명한 anyon 순열을 특징으로 한다.

ABSTRACT

We present microscopic Hamiltonians that gap the Dirac fermions on the surface of topological crystalline insulators (TCIs) protected by reflection symmetry and create symmetry-preserving states with Abelian topological orders. For TCIs with $n = 2$ copies of surface Dirac fermions, we find a fermionic $\mathbb{Z}_4$ topological order with charge-spin self duality and with a novel symmetry action on the anyons, whereby reflections with respect to two parallel planes act differently. We also analyze TCIs with $n = 1$ and $4$ copies of Dirac fermions, which taken together covers every nontrivial case in the $\mathbb{Z}_8 \oplus \mathbb{Z}_2$ classification of interacting TCIs. Our work reveals a fundamental difference between reflection and charge-conjugation-time-reversal symmetry anomalies.

연구 동기 및 목표

• 표면에서 대칭을 유지하는 급격한 위상적 순서를 실현하는 미세 구조 모델을 구성하는 것.
• 강한 전자 상호작용이 존재할 때 반사 대칭이 anyon에 어떻게 비정상적으로 작용하는지 조사하는 것.
• n=1, 2, 4개의 표면 디랙 페르미온 복사 분석을 통해 상호작용하는 TCI의 완전한 분류를 해결하는 것.
• 기존에 연구된 전하 공명-시간역전 대칭 이상 현상과 대비하여, 위상적 상에서의 반사 대칭 이상 현상과 비교하는 것.
• 커플드 와이어 접근법을 사용하여 비자명한 anyon 통계 및 대칭 분할을 가진 표면 위상적 순서의 미세 구조 실현을 제공하는 것.

제안 방법

• 주기적으로 변화하는 디랙 질량 항을 사용하여 2차원 표면 디랙 페르미온을 1차원 모서리 상태의 배열로 변형한다.
• 커플드 와이어 방법을 적용하여, 밀도가 높은 부스러기와 보호된 모서리 모드를 가진 미세 해밀토니안을 구성한다.
• 반사 대칭을 유지하면서 시스템을 차단하기 위해 $ H_{\text{int}} = iV\sum_j \int dx\, \gamma_{j,R}\gamma_{j+1,L}\cos(\Theta_j - \Theta_{j+1}) $ 라는 2-메이저라 상호작용 항을 도입한다.
• 물리적 전자 및 보존적 연산자로의 급격한 페르미온 자유도의 매핑을 통해 물리적 일관성을 확보한다: $ \psi^n \sim e^{i(\phi_{+,j} - \phi_{-,j})} $.
• anyon을 $ \Theta $ 필드의 쿠르츠와 급격한 페르미온으로 식별하며, 융합 규칙 $ \boldsymbol{s} \times \boldsymbol{s} \sim I $, $ \boldsymbol{\psi} \times \boldsymbol{\psi} \sim I $ 를 통해 ℤ₄ 위상적 순서를 확인한다.
• 반사 대칭 $ M_y $ 가 anyon에 미치는 영향을 분석하여 $ \boldsymbol{s} \leftrightarrow \boldsymbol{s}\boldsymbol{\psi} $ 라는 순열을 보이며, $ \boldsymbol{\psi} $ 는 불변임을 보여 비자명한 이상 현상을 드러낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n=2 디랙 페르미온 복사로 이루어진 TCI 표면에서 미세 구조 모델을 사용하여 급격하고 대칭을 유지하는 위상적 순서를 실현할 수 있는가?
• RQ2 TCI 표면 위상적 순서에서 반사 대칭은 anyon에 어떻게 작용하는가? 이 작용은 비정상적일 수 있는가?
• RQ3 n=2 TCI의 경우 도출된 위상적 상에서 anyon 통계 및 융합 규칙의 성격은 무엇인가?
• RQ4 TCI에서의 반사 대칭 이상 현상은 다른 위상적 상에서 연구된 전하 공명-시간역전 대칭 이상 현상과 어떻게 다를까?
• RQ5 커플드 와이어 방법을 사용하여 다양한 수의 디랙 페르미온 복사로 이루어진 TCI 표면에서 위상적 순서를 체계적으로 구성하고 분석할 수 있는가?

주요 결과

• n=2 디랙 페르미온 복사로 이루어진 TCI 표면에서 전하-스핀 자기 dual 성질과 비자명한 anyon 융합 규칙을 가진 페르미온적 ℤ₄ 위상적 순서가 실현된다.
• 반사 대칭은 anyon에 대해 비정상적으로 작용한다: 두 개의 평행한 거울 평면에 대한 반사 작용이 anyon의 순열 방식을 다르게 하며, $ \boldsymbol{s} \leftrightarrow \boldsymbol{s}\boldsymbol{\psi} $ 라는 순열이 발생하지만 $ \boldsymbol{\psi} $ 는 불변이다.
• anyon의 구성은 $ \{I, \boldsymbol{s}\} \times \{I, \boldsymbol{\psi}\} $ 이며, $ \boldsymbol{s} \times \boldsymbol{s} \sim I $, $ \boldsymbol{\psi} \times \boldsymbol{\psi} \sim I $ 를 만족하여 ℤ₄ 위상적 순서임을 확인한다.
• 모델은 anyon의 분리가 가능한 급격한 대칭 유지 표면 상태를 실현하며, (반)세미온은 $ e^{i\phi_{+,j}} $ 를 통해 생성되고, 그들의 전송은 국소적 보존적 연산자에 의해 매개된다.
• 메이저라 모서리 모드는 여전히 급격하지 않으며, 이는 비록 아벨 위상적 순서임에도 불구하고 위상적 성질을 확인한다.
• 분석 결과 반사 대칭 이상 현상은 전하 공명-시간역전 대칭 이상 현상과 본질적으로 다르며, 공간 반사에 따른 다른 anyon 순열 패tern에서 기인함을 확인한다.