[논문 리뷰] Topological versus Landau-like phase transitions

Lokman Tsui, Fa Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 23.

Quantum many-body systems참고 문헌 9인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 대칭 보존에 의해 유도되는 랑도 유형의 상전이(대칭 깨짐에 의해 유도됨)와 동일한 대칭을 가진 대칭 보호 양자 상(스페셜 퍼블릭 토폴로지컬 상) 사이의 상전이를 구분한다. 비틀림 대칭을 가진 (d+1)차원 SPT의 경계로 d차원 SPT 전이의 임계점이 매핑되는 허브리크 다원성 이론을 제안한다. 이 이론은 임계 진동자가 비정상적인 경계 모드의 국소화되지 않은 형태임을 보여준다. 주요 결과는 SPT 임계점이 $c \geq 1$ 및 프로젝티브 표현을 가진 conformal field theory(CFT)를 필요로 하며, 이는 unitary minimal models($c<1$)와는 상충되므로 Landau 유형 전이와 구별됨을 보여준다.

ABSTRACT

The study of continuous phase transitions triggered by spontaneous symmetry breaking has brought new concepts that revolutionized the way we understand many-body systems. Recently, through the discovery of symmetry protected topological phases, it is realized that quantum phase transition between states with the same symmetry but different topology can also occur continuously. Here we ask "what distinguishes these two types of phase transitions".

연구 동기 및 목표

• 대칭 깨짐에 의해 유도되는 Landau 유형의 상전이와 동일한 대칭을 가진 대칭 보호 양자 상 사이의 상전이 간의 근본적 차이를 이해하기 위해.
• d차원 SPT 전이의 임계점이 $G \times Z_2^T$ 대칭을 가진 (d+1)차원 SPT의 경계로 실현되는 허브리크 대응을 수립하기 위해.
• 비정상적인 SPT 상의 경계 모드의 국소화되지 않은 형태로 SPT 전이의 임계 진동자가 유도됨을 보여주기 위해.
• SPT 임계점이 unitary minimal models($c<1$)로 기술될 수 없으며, Landau 유형 전이와는 달리 대칭군의 프로젝티브 표현이 필요하기 때문에 이를 보여주기 위해.
• SPT 상 전이를 기술할 수 있는 최소한의 conformal field theory($c \geq 1$) 집합을 식별하고 임계 행동에서의 열린 문제를 탐색하기 위해.

제안 방법

• Hamiltonian을 복소수화하고 시간 역전 대칭을 반전시키는 $Z_2^T$ 대칭을 포함하는 (d+1)차원 SPT 상을 구성한다.
• 각각 비정상적인 $G$ 대칭 SPT로 장식된 이징 유형의 도메인 월을 다량으로 확산시켜 SPT를 실현한다.
• 이 고차원 SPT의 경계로 d차원 SPT 상 전이를 매핑하며, 이 전이는 경계에서의 $Z_2^T$ 대칭 깨짐에 의해 유도된다.
• 경계에서 conformal field theory(CFT)를 사용하여 임계 이론을 분석하고, 힐버트 공간의 주요 연산자들에 대한 호로모르픽 및 앙티홀로모르픽 스케일링 차원 $h$, $\bar{h}$를 식별한다.
• 정확히 해석 가능한 모델(예: $SO(3)$의 경우 헤이젠베르크 체인, $Z_2 \times Z_2$의 경우 XX 모델)을 사용하여 CFT 기술의 타당성을 검증하고 경계 진동자의 양자수를 일치시킨다.
• SPT 임계점의 중심 전하 $c$와 연산자 구성 요소를 Landau 유형 전이, 특히 $c<1$인 unitary minimal models와 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭 보호 양자 상(SPT) 전이의 임계점은 중심 전하 $c<1$인 conformal field theory로 기술될 수 있는가?
• RQ2 SPT 전이의 부피 임계점이 증강된 대칭을 가진 고차원 SPT의 경계로 매핑되는 허브리크 다원성 이론이 존재하는가?
• RQ3 SPT 전이의 임계 진동자는 비정상적인 SPT 상의 비국소화된 경계 모드에서 기인하는가?
• RQ4 왜 SPT 임계점은 대칭군의 프로젝티브 표현이 필요하며, 이는 Landau 유형 전이와 어떻게 다를 수 있는가?
• RQ5 SPT 상 전이를 기술할 수 있는 conformal field theory의 클래스는 무엇인가($c \geq 1$ 또는 $c<1$인가), 임계점에서의 잠재적 대칭의 기원에 대한 함의는 무엇인가?

주요 결과

• 보존 SPT 상 전이의 임계 이론은 unitary minimal models($c<1$)로 기술될 수 없다. 이는 프로젝티브 표현이 필요한 비퇴화 주요 연산자가 부족하기 때문이다.
• 1차원 $SO(3)$ 대칭 SPT 전이의 경우, 중심 전하 $c=1$인 $SU(2)_1$ 웨스-지움노-위트 모델로 기술되며, 스핀온 진동자는 $SO(3)$의 프로젝티브 표현에 해당한다.
• $Z_2 \times Z_2$ 대칭 SPT 전이의 경우, 중심 전하 $c=1$인 XX 모델로 기술되며, 주요 연산자의 스케일링 차원은 $h=9/32$, $\bar{h}=1/32$ 또는 그 반대이며, $h+\bar{h}=5/16$이다.
• $Z_3 \times Z_3$ 대칭 SPT 전이의 경우 중심 전하가 $c=8/5$로 예측되며, 이는 SPT 임계성에 요구되는 조건인 $c \geq 1$과 일치한다.
• 허브리크 구성은 SPT 전이를 $G \times Z_2^T$ 대칭을 가진 (d+1)차원 SPT의 경계로 매핑하며, 이 경계에서의 임계점은 $Z_2^T$ 대칭 깨짐에 의해 발생한다.
• 결과적으로 SPT 임계점은 $c \geq 1$ CFT와 프로젝티브 대칭 표현이 필요하므로 Landau 유형 전이와 본질적으로 다르며, 이는 최소 모델에서는 존재하지 않는다.