[논문 리뷰] Towards a good notion of categories of logics

Caio de Andrade Mendes, Hugo Luiz Mariano|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 14.

Advanced Algebra and Logic참고 문헌 18인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 논리 범주에서 상호유도 가능성에 대해 동치관계를 갖는 사상들을 식별하는 몫 및 반사적 부분범주를 도입하여 명제 논리의 보다 정교한 범주론적 프레임워크를 제안한다. 이는 이전 접근 방식의 핵심적 결함을 해결한다. 또한 유한 타입의 동치관계를 갖는 논리들의 범주가 유한하게 국소적으로 표현 가능하다는 것을 입증하여 완비성과 코완비성을 보장하며, 대수화 가능한 논리와 논리의 동일성 문제에 자연스럽게 대응한다.

ABSTRACT

We consider (finitary, propositional) logics through the original use of Category Theory: the study of the "sociology of mathematical objects", aligning us with a recent, and growing, trend of study logics through its relations with other logics (e.g. process of combinations of logics as bring [Gab] and possible translation semantics [Car]). So will be objects of study the classes of logics, i.e. categories whose objects are logical systems (i.e., a signature with a Tarskian consequence relation) and the morphisms are related to (some concept of) translations between these systems. The present work provides the first steps of a project of considering categories of logical systems satisfying simultaneously certain natural requirements: it seems that in the literature ([AFLM1], [AFLM2], [AFLM3], [BC], [BCC1], [BCC2], [CG], [FC]) this is achieved only partially.

연구 동기 및 목표

• 모든 자연스러운 요구 조건을 만족하는 통합적이고 범주론적인 논리 기반을 확립하는 것: 객관성, 범주론적 완비성, 대수화 가능성, 논리의 동일성 처리.
• 기존 논리 범주에서의 한계를 극복하기 위해, 예를 들어 $\mathcal{L}_s$에서의 지나친 엄격한 사상이나 $\mathcal{L}_f$의 완비성 부족 문제를 해결하기 위해 정교한 몫 구성법을 도입하는 것.
• 접합(코곱)과 가능한 번역(분할)을 모두 지원하는 논리의 범주를 제공하여, 논리를 상호 연결된 수학적 대상으로 보는 사회학적 관점과 일치시키는 것.
• 등가 공식을 사용하여 자연스러운 대수화 논리의 개념을 확립하고, 양호한 범주론적 성질을 갖는 잘 정의된 범주에 이를 통합하는 것.
• 향후 방향으로서 오페라드와 모리타 동치를 탐색하여 논리의 동일성과 연결자 상호정의 가능성에 대해 더 강력하고 불변적인 처리를 목표로 하는 것.

제안 방법

• 유도 가능성 동치를 기반으로 한 동치관계를 사용하여, 상호유도 가능한 번역을 유도하는 사상을 식별함으로써, 몫 범주 $\mathcal{Q}_f$를 정의한다.
• 유한 타입의 동치관계를 갖는 논리에 국한된 $\mathcal{Q}_f$의 반사적 부분범주 $\mathcal{Q}_f^c$를 구성하여 더 나은 범주론적 행동을 확보한다.
• 서명 범주 $\mathcal{S}_s$와 $\mathcal{S}_f$ 사이의 가환관계가 유도하는 모나드의 켈라이클 범주가 $\mathcal{S}_f$가 되며, 이는 연결자 기반 사상에 대한 체계적인 처리를 가능하게 한다.
• 서명 위의 함의관계 집합에 자연스러운 대수적 랏티스 구조를 부여하여, 극한과 초극한의 구성에 기여한다.
• 등가 공식 $\Delta$가 구조적 조건을 만족하는 삼중체 $(\Sigma, \vdash, \Delta/\!\!\dashv\vdash)$를 통해 대수화된 논리의 범주 $\mathcal{A}_f$를 도입한다.
• 포함관계와 함자들의 다이어그램을 사용하여 $\mathcal{L}_f$, $\mathcal{L}_f^c$, $\mathcal{Q}_f^c$, $\mathcal{A}_f$를 연결하고, $\mathcal{Q}_f^c$가 잘 정의된 논리의 본질적 구조를 포괄함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하면 표준 논리를 표현하고, 좋은 범주론적 성질을 갖으며, 대수화 가능성을 지원하고 논리의 동일성 문제를 해결하는 동시에 모든 조건을 동시에 만족하는 념리의 범주를 구성할 수 있는가?
• RQ2 상호유도 가능성에 의해 정의된 사상의 역할은 무엇이며, 엄격한 서명 사상이나 공식 기반 사상에 비해 어떻게 개선되는가?
• RQ3 유한 타입의 동치관계를 갖는 논리들의 범주가 유한하게 국소적으로 표현 가능한지 입증할 수 있는가? 이는 완비성과 코완비성을 보장한다.
• RQ4 대수화된 논리를 어떻게 자연스럽게 범주론적 프레임워크에 통합할 수 있으며, 그 구조적 및 의미론적 성질을 유지할 수 있는가?
• RQ5 오페라드나 모리타 동치와 같은 다른 범주론적 프레임워크는 논리의 동일성과 연결자 상호정의 가능성의 처리를 더욱 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 유한 타입의 동치관계를 갖는 논리들의 범주 $\mathcal{Q}_f^c$는 유한하게 국소적으로 표현 가능하다. 이는 완비성과 코완비성, 접근 가능성까지 보장하므로 강력한 범주론적 행동을 보인다.
• $\mathcal{S}_s$와 $\mathcal{S}_f$ 사이의 가환관계는 모나드를 유도하며, 그 켈라이클 범주는 $\mathcal{S}_f$가 되어 공식 기반 사상에 대한 범주론적 기반을 제공한다.
• 몰입 범주 $\mathcal{Q}_f$는 상호유도 가능성에 의해 정의된 전순서에 의해 부분순서 범주에 대한 강화를 가지며, 향후 연구를 위한 자연스러운 강화 구조를 시사한다.
• 대수화된 논리의 범주 $\mathcal{A}_f$는 잘 정의되어 있으며, 사상들이 등가 공식을 유지하고, $\mathcal{Q}_f^c$의 반사적 부분범주를 이룬다.
• 포함관계의 다이어그램은 $\mathcal{L}_f^c$가 $\mathcal{Q}_f^c$에 포함됨을 보이며, $\mathcal{Q}_f^c$가 잘 정의된 논리의 본질적 구조를 포괄하여 이전 범주에서의 문제를 해결한다.
• 논리의 동일성 문제에 대한 해결책을 제공하며, 서명의 엄격한 동형이 아닌 번역의 상호유도 가능성에 의해 논리를 식별한다.