[논문 리뷰] Towards a mathematical formalism for classifying phases of matter

Andreas Bauer, Jens Eisert외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 13.

Quantum many-body systems참고 문헌 81인용 수 49

한 줄 요약

이 논문은 텐서 격자과 로컬 무브(local moves)을 기반으로 한 통합 수학적 프레임워크를 제시하여 대칭성 파괴, 위상적 위상 및 관련 구조를 포괄하는 물질의 상을 분류하고, 2+1D에서의 경계, 결함, anyon에 대한 확장을 포함한다.

ABSTRACT

We propose a unified mathematical framework for classifying phases of matter. The framework is based on different types of combinatorial structures with a notion of locality called lattices. A tensor lattice is a local prescription that associates tensor networks to those lattices. Different lattices are related by local operations called moves. Those local operations define consistency conditions for the tensors of the tensor network, the solutions to which yield exactly solvable models for all kinds of phases. We implement the framework to obtain models for symmetry-breaking and topological phases in up to three space-time dimensions, their boundaries, defects, domain walls and symmetries, as well as their anyons for 2+1-dimensional systems. We also deliver ideas of how other kinds of phases, like SPT/SET, fermionic, free-fermionic, chiral, and critical phases, can be described within our framework. We also define another structure called contracted tensor lattices which generalize tensor lattices: The former associate tensors instead of tensor networks to lattices, and the consistency conditions for those tensors are defined by another kind of local operation called gluings. Using this generalization, our framework also covers mathematical structures like axiomatic (non-fully extended or defective) TQFTs, that do not directly describe phases on a microscopic physical level, but formalize certain aspects of potential phases, like the anyon statistics of 2+1-dimensional phases. We also introduce the very powerful concept of (contracted) tensor lattice mapping, unifying a lots of different operations, such as stacking, anyon fusion, anyon condensation, equivalence of different fixed point models, taking the Drinfel'd centre, trivial defects or interpreting a bosonic model as a fermionic model.

연구 동기 및 목표

• 물질의 상을 분류하기 위한 통합 수학적 프레임워크를 개발한다.
• 격자에서 텐서 네트워크에 대한 국소 처방으로 텐서 격자를 도입한다.
• 다른 격자를 연결하고 일관성 조건을 부여하는 국소 무브를 정의한다.
• 최대 3+0~3 공간-시간 차원까지의 대칭성 파괴 및 위상적 상에 대해 프레임워크를 시연한다.
• 경계, 결함, 도메인 벽, 대칭성 및 anyon에의 확장을 탐구하고, SPT/SET, 페르미니언, 카이럴 및 임계 상에 대한 서술을 개요한다.

제안 방법

• 격자에 텐서 네트워크를 연결하는 국소 처방으로 텐서 격자를 정의한다.
• 격자를 연결하고 텐서 네트워크를 제약하는 국소 무브를 통해 일관성을 부과한다.
• 수축된 텐서 격자와 접합이 있는 개념과 이에 상응하는 일관성 개념을 도입한다.
• 이 프레임워크가 2+1 및 3+1 차원에서 다양한 상에 대해 정확히 해결 가능한 모델을 산출하는 방법을 보인다.
• 쌓기, anyon 융합/응축, Drinfeld center 해석과 같은 연산을 통합하기 위한 (수축된) 텐서 격자 매핑의 개념을 개발한다.
• 직접 미시적 모델을 넘어선 특정 상의 측면을 형식화하기 위해 공리적 TQFT와의 관계를 연계한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일 수학적 형식이 차원에 걸쳐 대칭성 파괴와 위상적 상을 모두 분류할 수 있는가?
• RQ2 국소 무브와 일관성 조건이 서로 다른 상에 대해 어떻게 정확히 해석 가능한 모델을 만들어내는가?
• RQ3 수축된 텐서 격자와 접합이 넓은 상 구조(TQFT, anyon 통계 등)를 포괄하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 통합 텐서-격자 프레임워크는 대칭성 파괴와 위상적 상을 3 공간-시간 차원까지 기술할 수 있다.
• 국소 무브는 격자 표현 간 동등 관계를 정의하고 텐서 네트워크의 일관성을 부과한다.
• 수축된 텐서 격자는 텐서 격자를 일반화하고 접합과 연결되어 경계, 결함, anyons의 묘사를 가능하게 한다.
• 이 접근법은 동일한 형식 내에서 SPT/SET, 페르미언, 자유 페르미언, 카이럴 및 임계 상을 기술하는 경로를 제공한다.
• 공리적 TQFT와의 연결이 확립되어 2+1D에서의 anyon 통계와 같은 측면을 형식화한다.
• 텐서-격자 매핑은 stacking, anyon 융합, 응축, 고정점 모델 동등성 등의 연산을 통합한다.