[논문 리뷰] Towards a Particle-Number Conserving Theory of Majorana Zero Modes in p+ip Superfluids

Yiruo Lin, Anthony J. Leggett|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 21.

Topological Materials and Phenomena참고 문헌 2인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 p+ip 초유체에서 마요라나 영 모드에 대한 입자 수 보존 프레임워크를 개발하며, U(1) 대칭성을 위반하고 입자 수 보존을 위반하는 BCS 평균장 이론의 근본적 한계를 다룹니다. 고립된 상태의 준입자 분포와 일치하도록 갭 방정식을 수정하여 보고리우브-데 게인즈 형식에서 입자 수 보존을 복원합니다. 이는 토폴로지적 양자 컴퓨팅에서 신뢰할 수 있는 양자 얽힘을 유지하는 데 필수적임을 보여줍니다.

ABSTRACT

Majorana zero modes are predicted to exist in p+ip (either inherent or effective due to proximity effect) superfluids and are proposed to be used for constructing topological qubits for topologically protected quantum computing. Existing theories on the subject are mostly based on BCS mean-field theory which breaks particle number conservation (U(1) symmetry). More specifically, Bogoliubov-de Gennes (BdG) equations are used to derive Majorana zero modes and their braiding properties. The broken particle number conservation is, on the other hand, respected in any fermionic condensed matter system and therefore may be crucial in studying quantum coherence, essential for quantum computing. In this paper, we work towards a particle-number conserving theory by examining the role played by particle number conservation in topological properties of Majorana zero modes. We conclude that the latter may be affected by the former and new theoretical framework that respects particle number conservation is needed in establishing (or dismissing) the existence of Majorana zero modes in p+ip superfluids and their application to topological quantum computing.

연구 동기 및 목표

• 마요라나 영 모드의 기존 BCS 평균장 이론에서 입자 수 보존(즉, U(1) 대칭성) 위반이 발생하는 모순을 해결하기 위해, 이는 페르미온 다체계에서 기본적인 역할을 합니다.
• p+ip 초유체에서 입자 수 보존이 마요라나 영 모드의 토폴로지적 성질에 미치는 영향을 조사하기 위해.
• 입자 수 보존을 존중하는 새로운 이론적 프레임워크를 개발하여 이러한 시스템에서 마요라나 영 모드의 존재 여부를 검증하거나 배제하기 위해.
• 토폴로지적 양자 컴퓨팅 응용 분야에서 필수적인 양자 얽힘 요구 조건을 충족시키기 위해.
• 특정 고(excited) 상태의 준입자 분포와 일치하도록 갭 방정식을 조정하여 보고리우브-데 게인즈 방정식을 재구성함으로써 입자 수 전류의 연속성을 복원하기 위해.

제안 방법

• 준입자 생성 및 소멸 연산자를 사용하여 보고리우브-데 게인즈(BdG) 형식에서 입자 수 밀도 및 전류 연산자를 유도합니다.
• 입자 수 보존을 평가하기 위해 연속성 방정식 $\dot{\rho} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0$ 을 분석합니다.
• 기본적인 BdG 형식에서 고립된 상태에서는 갭 방정식의 불일치로 인해 입자 수 보존이 실패함을 규명합니다.
• 단일 고립 준입자 상태에 대해 갭 방정식을 $\Delta = V \sum_{m,\sigma \neq (n,\uparrow)} u_m v_m^* - u_n v_n^*$ 로 수정하여 준입자 분포와 일치시킵니다.
• 수정된 갭 방정식을 통해 전류의 발산이 0이 됨을 입증합니다: $\langle \nabla \cdot \mathbf{j} \rangle = 0$, 이로써 입자 수 보존이 복원됩니다.
• 자기 일관된 갭 방정식과 열평형 평균을 사용하여 수정된 프레임워크가 기본 상태 및 고립 상태 모두에서 보존 법칙을 충족함을 검증합니다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입자 수 보존은 p+ip 초유체에서 마요라나 영 모드의 토폴로지적 안정성과 존재성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 기본 BCS 평균장 이론은 왜 고립 상태에서 입자 수를 보존하지 못하며, 이는 양자 얽힘에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 수정된 갭 방정식이 준입자 고립 상태에 대해 BdG 형식에서 입자 수 보존을 복원할 수 있는가?
• RQ4 준입자 분포 수가 토폴로지 초전도체에 대한 BdG 형식의 타당성을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 기본 BdG 접근법은 마요라나 영 모드를 기술하기에 충분한가, 아니면 새로운 입자 수 보존 형식이 필요한가?

주요 결과

• 기본 BCS 평균장 이론에서 p+ip 초유체는 고립 상태에서 입자 수 보존 위반이 발생하며, 이는 BdG 형식에서 입자 전류의 발산이 0이 아니므로 나타납니다.
• 단일 고립 준입자 상태에서 입자 수 보존 위반은 $-4e \, \text{Im}(\Delta^* u_n v_n^*)$ 비례하며, 갭 방정식을 조정하지 않는 한 0이 되지 않습니다.
• 채워진 준입자 상태를 제외한 갭 방정식을 재정의함으로써 수정된 형식은 입자 수 보존을 복원하여 $\langle \nabla \cdot \mathbf{j} \rangle = 0$ 을 도출합니다.
• 수정된 갭 방정식 $\Delta = V(\sum_{m,\sigma \neq (n,\uparrow)} u_m v_m^* - u_n v_n^*)$ 는 준입자 분포와 일치하여 고립 상태에서 이론이 자기 일관성이 있음을 보장합니다.
• 기본 BdG 접근법에서 입자 수 보존 위반은 $1/N$ 차수이지만, 국소화된 준입자 상태에서는 중요하게 작용하여 양자 얽힘을 약화시킵니다.
• 결과적으로, 마요라나 영 모드의 신뢰할 수 있는 이론적 기반과 토폴로지적 초유체 및 토폴로지적 양자 컴퓨팅 응용 분야에서 입자 수 보존 프레임워크가 필수적임을 시사합니다.