[논문 리뷰] Towards a reversed Faber-Krahn inequality for the truncated Laplacian

Isabeau Birindelli, Giulio Galise외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 20.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 열화된 완전 비선형 타원형 연산자인 절단 라플라시안 연산자 $\mathcal{P}^{+}_{k}$에 대한 주특성값 문제를 조사한다. 고정된 부피를 가진 직사각형들 중에서 정사각형이 주특성값 $\mu_1^+$를 최대화함을 보여주는 반전된 Faber-Krahn 부등식을 수립한다. 이는 라플라시안의 경우에 구가 주특성값을 최소화한다는 고전적 Faber-Krahn 부등식과 정반대된다. 이 결과는 일변도 미분방정식과 볼록해석을 이용한 특수해함수의 명시적 구성에 의해 증명된다.

ABSTRACT

We consider the nonlinear eigenvalue problem, with Dirichlet boundary condition, for a class of very degenerate elliptic operators, with the aim to show that, at least for square type domains having fixed volume, the symmetry of the domain maximize the principal eigenvalue, contrary to what happens for the Laplacian.

연구 동기 및 목표

• 라플라시안에 대한 고전적 Faber-Krahn 부등식과는 반대로, 절단 라플라시안 $\mathcal{P}^{+}_{k}$에 대해 도메인의 대칭성이 주특성값을 최대화하는지 조사하는 것.
• $\mathcal{P}^{+}_{1}$에 대해 양의 고유함수가 존재하기 위해 엄격한 볼록성이 필수적인지, 특히 정사각형과 같은 엄격히 볼록하지 않은 도메인에서도 그러한 고유함수가 존재할 수 있는지 확인하는 것.
• 라플라시안의 주특성값이 가지는 정성적 성질(예: 단조성, 대칭성 영향 등)이 절단 라플라시안으로까지 확장되는지 탐구하는 것.
• $\mathcal{P}^{+}_{1}$에 대해 반전된 Faber-Krahn 부등식을 수립하여, 고정된 부피를 가진 직사각형들 중에서 정사각형이 가장 큰 주특성값을 갖는다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 저자들은 헤시안 행렬의 순서된 고유값 $\lambda_i$를 사용하여 절단 라플라시안을 $\mathcal{P}^{+}_{k}(D^2u) = \sum_{i=1}^k \lambda_{N+1-i}(D^2u)$로 정의한다.
• 일변도 미분방정식을 이용한 해를 활용하여, 직사각형에서 $\mathcal{P}^{+}_{1}$에 대한 명시적 고유함수를 생성한다. 이는 헤시안의 가장 큰 고유값을 포함한 미분방정식의 해를 기반으로 한다.
• 존재성 증명은 고도의 PDE 이론을 피하고 선형대수학과 미분방정식 이론의 기본 도구들만을 사용한다.
• 저자들은 도메인이 유계일 때 $\mathcal{P}^{+}_{1}(D^2u) + \mu u = 0$의 딜리클레 문제에 대한 존재성과 유일성을 보장하기 위해 페론의 방법을 사용한다.
• 비교 원리와 장벽 구성 방법을 통해 해의 호일더 연속성 $C^{0,\frac{\beta}{N}}$을 확립한다.
• 같은 부피를 가진 직사각형들 사이의 주특성값을 비교함으로써 반전된 Faber-Krahn 부등식을 유도한다. 이는 정사각형이 $\mu_1^+$를 최대화함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 부피를 가진 직사각형들 중에서 절단 라플라시안 $\mathcal{P}^{+}_{1}$의 주특성값 $\mu_1^+$가 대칭성에 따라 증가하는가? 특별히, 정사각형이 최대값을 갖는가?
• RQ2 특성값 $\mathcal{P}^{+}_{1}$에 대해 양의 고유함수가 존재하기 위해 엄격한 볼록성이 필수적인가, 아니면 정사각형과 같은 엄격히 볼록하지 않은 도메인에서도 그러한 고유함수가 존재할 수 있는가?
• RQ3 $\mathcal{P}^{+}_{1}$에 대해 반전된 Faber-Krahn 부등식이 성립할 수 있는가? 즉, 대칭적인 도메인이 주특성값을 최소화하는 것이 아니라 최대화하는가?
• RQ4 주특성값 $\mu_1^+$는 라플라시안의 주특성값 $\mu(\Delta)$와 비교해 볼 때, 부분합성 성질을 가지는가? 그리고 Lieb의 부등식이 $\mu_1^+$에 대해 실패하는가?
• RQ5 도메인 $\Omega$에 대해 $\mathcal{P}^{+}_{1}$의 딜리클레 문제 해의 정(regularity)은 어떠한가? 특히 볼록성 가정 없이도 전역 호일더 연속성이 유지되는가?

주요 결과

• 고정된 부피를 가진 직사각형들 중에서 절단 라플라시안 $\mathcal{P}^{+}_{1}$의 주특성값 $\mu_1^+$는 정사각형에서 최대가 된다. 이는 반전된 Faber-Krahn 부등식을 수립함을 의미한다.
• 동일한 부피를 가진 구의 주특성값 $\mu_1^+$는 정사각형의 주특성값을 초과하며, 이는 반전된 부등식을 추가로 확인한다.
• 정사각형과 같이 엄격히 볼록하지 않은 영역에서도 $\mathcal{P}^{+}_{1}$에 대한 명시적 고유함수가 존재함을 보여, 고유함수 존재성에 있어 엄격한 볼록성이 필수적이지 않다는 것을 반박한다.
• 도메인이 볼록이 아니더라도 적절한 조건 하에서 $\mathcal{P}^{+}_{1}$의 딜리클레 문제 해는 $\overline{\Omega}$에서 전역적으로 $C^{0,\frac{\beta}{N}}$-호일더 연속성을 가진다.
• Lieb 유형의 부분합성 부등식 $\mu(\Delta, A \cap B_x) < \mu(\Delta,A) + \mu(\Delta,B)$는 $\mu_1^+$에 대해 성립하지 않으며, 실제로 일부 직사각형에 대해서는 반대 방향으로 뒤집힐 수 있다.
• 비음수 초해결($\mathcal{P}^{+}_{1}(D^2u) \leq f$)은 전역 호일더 연속성이 실패할 수 있으며, 예를 들어 $u(x) = 1/(\sigma - \sum \log(\cos x_i))$의 반례를 통해 이는 불연속적인 호일더 노름을 가짐을 보여준다.