[논문 리뷰] Towards the ample cone of $\mgn$

Angela Gibney, Seán Keel외 1명|ArXiv.org|2000. 06. 27.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 안정적 $n$-점이 있는 종수 $g$ 곡선의 모듈리 공간 $\overline{M}_{g,n}$ 의 풍부한 콘에 대한 추측적 특성화를 제안한다: 어떤 배수체가 모든 1차원 스트라타와 양의 교차를 가지면 풍부하다. 핵심 결과는 이 추측이 모든 $g$ 에 대해 성립함이 참이 되기 위한 필요충분조건이 $g=0$ 에서 성립함을 보여주며, 일반 문제를 종수 0의 경우로 줄여서 다룬다. 종수 0의 경우는 낮은 종수에서 알려져 있으며, GIT 졸업과 토릭 변형의 증거나로부터 지지된다.

ABSTRACT

In this paper we study the ample cone of the moduli space $\mgn$ of stable $n$-pointed curves of genus $g$. Our motivating conjecture is that a divisor on $\mgn$ is ample iff it has positive intersection with all 1-dimensional strata (the components of the locus of curves with at least $3g+n-2$ nodes). This translates into a simple conjectural description of the cone by linear inequalities, and, as all the 1-strata are rational, includes the conjecture that the Mori cone is polyhedral and generated by rational curves. Our main result is that the conjecture holds iff it holds for $g=0$. More precisely, there is a natural finite map $r: \vmgn 0. 2g+n. o \mgn$ whose image is the locus $ gn$ of curves with all components rational. Any 1-strata either lies in $ gn$ or is numerically equivalent to a family $E$ of elliptic tails and we show that a divisor $D$ is nef iff $D \cdot E \geq 0$ and $r^*(D)$ is nef. We also give results on contractions (i.e. morphisms with connected fibers to projective varieties) of $\mgn$ for $g \geq 1$ showing that any fibration factors through a tautological one (given by forgetting points) and that the exceptional locus of any birational contraction is contained in the boundary. Finally, by more ad-hoc arguments, we prove the nefness of certain special classes.

연구 동기 및 목표

• Mumford 가 제기한 $\overline{M}_{g,n}$ 의 풍부한 콘의 구조에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 1차원 스트라타에 대한 양성에 기반한 풍부한 콘의 추측적 선형부등식 기술을 제공하기 위해.
• 종수 $g \geq 1$ 에 대한 일반 문제를 유한 사상 $r: \overline{M}_{0,2g+n} \to \overline{M}_{g,n}$ 를 통해 종수 0 사례로 환원하기 위해.
• $\overline{M}_{g,n}$ 의 변형, 특히 피브리케이션과 배수체 변형을 분석하고, 그것들이 타우토로지컬 사상 또는 타원 꼬리의 블로우다운을 통해 인자화됨을 보여주기 위해.
• 모리 콘은 유리 곡선과 타원 꼬리로 생성되며, $g \geq 5$ 일 때 상대 피카르 수가 1인 배수체 변형의 유일한 예외적 근원은 타원 꼬리임을 증명하기 위해.

제안 방법

• 풍부성의 관계를 $\overline{M}_{g,n}$ 과 $\overline{M}_{0,2g+n}$ 간에 연결하기 위해 자연적인 유한 사상 $r: \overline{M}_{0,2g+n} \to \overline{M}_{g,n}$ 를 사용하며, 그 이미지는 유리 곡선의 위치인 $\overline{R}_{g,n}$ 이다.
• 모듈리 공간 $\overline{M}_{g,n}$ 에서의 배수체 $D$ 가 풍부함이 되기 위한 필요충분조건은 모든 1-스트라타와의 교차가 비음이 아니며, $D|_{\overline{F}_{g,n}}$ 가 풍부함이 되는 것으로, 여기서 $\overline{F}_{g,n}$ 는 플래그 곡선의 위치이다.
• 모리 콘 $\overline{NE}_1(\overline{M}_{g,n})$ 을 $\overline{NE}_1(\overline{M}_{0,2g+n}) \times \mathbb{R}_{\geq 0}$ 의 몫으로 특성화하며, 생성자는 유리 곡선과 타원 꼬리에서 온다.
• $g \geq 2$ 인 $\overline{M}_{g,n}$ 의 피브리케이션을 분석하고, 그것들이 점을 忽시하는 타우토로지컬 피브리케이션과 베르누아 변형의 조합을 통해 인자화됨을 증명한다.
• 변형 이론과 상대 Néron-Severi 군을 사용하여, $g \geq 5$ 일 때 상대 피카르 수가 1인 유일한 배수체 변형은 타원 꼬리의 블로우다운임을 보인다.
• Kapranov 의 역극한 기술과 Losev-Manin 의 토릭 콪업트랙션 $\overline{L}_{n-2}$ 를 포함한 $\overline{M}_{0,n}$ 에 대한 알려진 결과를 활용하여 추측에 대한 증거를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모듈리 공간 $\overline{M}_{g,n}$ 의 풍부한 콘은 모든 1차원 스트라타에 대한 양성으로 특성화될 수 있는가?
• RQ2 모듈리 공간 $\overline{M}_{g,n}$ 에서 어떤 배수체가 모든 1-스트라타와 양의 교차를 가지면 풍부하다는 추측이 $g \geq 1$ 에 대해 참이 되기 위한 필요충분조건이 $g=0$ 에서 참이 되는가?
• RQ3 $g \geq 2$ 일 때 $\overline{M}_{g,n}$ 의 가능한 피브리케이션과 배수체 변형은 무엇인가?
• RQ4 모리 콘 $\overline{NE}_1(\overline{M}_{g,n})$ 의 유일한 극단선은 유리 곡선과 타원 꼬리로 생성되는가?
• RQ5 모듈리 공간 $\overline{M}_{g,n}$ 의 모리 콘은 $\overline{M}_{0,2g+n}$ 의 모리 콘의 몫으로 기술될 수 있는가?

주요 결과

• 추측 $F_1(\overline{M}_{g,n})$ 가 참이 되기 위한 필요충분조건은 $g=0$ 에서 참이 되는 것과 동치이며, 이는 일반 문제를 종수 0 사례로 환원한다.
• 모듈리 공간 $\overline{M}_{g,n}$ 에서의 배수체 $D$ 는 모든 1-스트라타와의 교차가 비음이며, $D|_{\overline{F}_{g,n}}$ 가 풍부할 때에만 풍부하다. 여기서 $\overline{F}_{g,n}$ 는 플래그 곡선의 위치이다.
• 모리 콘 $\overline{NE}_1(\overline{M}_{g,n})$ 는 유리 곡선(즉, $\overline{R}_{g,n}$ 에서의 곡선)과 타원 꼬리로 생성되며, 후자는 가닥들 사이에서 수치적으로 동치이다.
• $g \geq 5$ 이고 특성수가 0일 때, $\overline{M}_{g,n}$ 의 상대 피카르 수가 1인 유일한 배수체 변형은 타원 꼬리의 블로우다운이다.
• 토릭 콩팩티피케이션 $\overline{L}_{n-2}$ 는 $\overline{M}_{0,n}$ 의 변형이며, 모든 $k$ 에 대해 $F_k(\overline{L}_{n-2})$ 를 만족하므로, $F_1(\overline{M}_{0,n})$ 의 추측은 이로부터 지지된다.
• 특성수가 0일 때, $g+n \leq 7$ 이나 $n=0$ 이고 $g \leq 11$ 일 때, $F_1(\overline{M}_{g,n})$ 가 참임을 증명하였으며, 이는 이전에 알려진 $g \leq 4$ 의 결과를 확장한다.