[논문 리뷰] Towards the Locality of Vizing's Theorem

Hsin-Hao Su, Hoa T. Vu|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 02.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 29인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 단순 그래프에 대한 두 가지 분산 엣지 색칠 알고리즘을 제안한다: 무작위 알고리즘은 Δ+2가지 색을 사용하고, 결정론적 알고리즘은 Δ+O(log n/log log n)가지 색을 사용하며, 둘 다 poly(Δ, log n)라운드 내에서 실행된다. 이 방법은 엣지 색칠 문제를 제한된 온라인 볼스-인-빈 문제로 환원하여 국소적 부하를 낮춰 색의 수를 최소화하면서도 효율적인 국소성 유지한다.

ABSTRACT

Vizing showed that it suffices to color the edges of a simple graph using $Δ+ 1$ colors, where $Δ$ is the maximum degree of the graph. However, up to this date, no efficient distributed edge-coloring algorithms are known for obtaining such a coloring, even for constant degree graphs. The current algorithms that get closest to this number of colors are the randomized $(Δ+ ildeΘ(\sqrtΔ))$-edge-coloring algorithm that runs in $ ext{polylog}(n)$ rounds by Chang et al. (SODA '18) and the deterministic $(Δ+ ext{polylog}(n))$-edge-coloring algorithm that runs in $ ext{poly}(Δ, \log n)$ rounds by Ghaffari et al. (STOC '18). We present two distributed edge-coloring algorithms that run in $ ext{poly}(Δ,\log n)$ rounds. The first algorithm, with randomization, uses only $Δ+2$ colors. The second algorithm is a deterministic algorithm that uses $Δ+ O(\log n/ \log \log n)$ colors. Our approach is to reduce the distributed edge-coloring problem into an online, restricted version of balls-into-bins problem. If $\ell$ is the maximum load of the bins, our algorithm uses $Δ+ 2\ell - 1$ colors. We show how to achieve $\ell = 1$ with randomization and $\ell = O(\log n / \log \log n)$ without randomization.

연구 동기 및 목표

• 비잔의 최적의 Δ+1 엣지 색칠과 기존의 더 많은 색을 사용하는 분산 알고리즘 사이의 격차를 메우기 위해.
• 근사 최적의 색을 사용하면서도 다항로그 또는 낮은 다항식 시간 복잡도를 유지하는 효율적인 분산 알고리즘을 개발하기 위해.
• 2Δ−1 이하의 색을 사용하면서도 낮은 시간 복잡도를 유지하는 분산 엣지 색칠의 색 수를 줄이기 위해.
• 정보 교환의 반경을 제한함으로써 국소성을 향상시켜 대규모 네트워크에 대해 확장 가능하고 실용적인 알고리즘을 만들기 위해.

제안 방법

• 분산 엣지 색칠 문제를, 상자 부하 ℓ가 사용하는 색의 수를 Δ+2ℓ−1로 결정하는 제한된 온라인 볼스-인-빈 문제로 환원한다.
• 무작위화를 사용하여 ℓ=1을 달성함으로써 무작위 알고리즘에서 Δ+2개의 색을 얻는다.
• 결정론적 전략을 사용하여 ℓ=O(log n/log log n)로 제한함으로써 Δ+O(log n/log log n)개의 색을 얻는다.
• 두 단계 복구 메커니즘을 적용한다: 먼저 공통된 부족한 색을 가진 엣지의 최대 매칭을 색칠하고, 그 후 갈림길이 없는 정점들을 충돌 그래프를 통해 복구한다.
• αβ-엣지와 부분 역 αβ-팬에서 충돌 그래프를 사용하여, 그룹당 O(1)개의 색을 사용하면서 복구를 조율한다.
• 반복적인 복구 루프를 구현하여 각 반복마다 미칠 색이 칠해지지 않은 엣지의 일정 비율을 색칠함으로써 총 O(log n)회의 반복으로 완료된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무작위화를 사용하여 분산 알고리즘이 poly(Δ, log n)라운드 내에서 Δ+2 엣지 색칠을 달성할 수 있는가?
• RQ2 결정론적 분산 알고리즘이 poly(Δ, log n)라운드 내에서 Δ+O(log n/log log n) 엣지 색칠을 달성할 수 있는가?
• RQ3 낮은 시간 복잡도를 유지하면서도 분산 엣지 색칠에서 색의 수를 2Δ−1 이하로 줄일 수 있는가?
• RQ4 볼스-인-빈 추상화를 통해 정보 교환 반경을 줄임으로써 엣지 색칠의 국소성을 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 무작위 알고리즘은 볼스-인-빈 환원에서 상자 부하 ℓ=1을 보장함으로써 poly(Δ, log n)라운드 내에서 Δ+2개의 색을 달성한다.
• 결정론적 알고리즘은 상자 부하를 ℓ=O(log n/log log n)로 제한함으로써 Δ+O(log n/log log n)개의 색을 사용한다.
• 알고리즘은 각 반복마다 미칠 색이 칠해지지 않은 엣지의 일정 비율을 색칠하여 총 O(log n)회의 반복으로 완료된다.
• 총 시간 복잡도는 결정론적 변형의 경우 O(Δ⁴·λ·log³n), 무작위 변형의 경우 O(Δ¹¹·log³n)이다.
• 이 방법은 사용하는 색의 수를 줄일 수 있게 하여 비잔의 Δ+1 경계에 가까워지지만, 여전히 poly(Δ, log n) 시간 범주에 머무른다.
• 이 방법은 이분 그래프에 적용 가능하며, 동일한 핵심 추상화를 통해 일반 그래프로 확장된다.