[논문 리뷰] Trace- and pseudo-products: restriction-like semigroups with a band of projections

D. G. FitzGerald, Michael Kinyon|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 19.

semigroups and automata theory참고 문헌 29인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 사영원소가 반대칭을 이룰 때 범주와 반군에서 추적과 가상곱을 도입하여 Ehresmann-Schein-Nambooripad (ESN) 정리를 일반화한다. 사영원소의 반대칭을 이루는 전사 범주와 특정 반군의 클래스 사이에 자기 dual인 양방향 동치를 수립하며, ∗-국소화 가능한 반군이 정확히 전사 군oids와 대응됨을 보여준다. 주요 기여는 교환 가능한 사영원소나 반순서 아이디포텐트를 요구하지 않고도 ESN 유형의 동치를 반대칭 기반으로 일반화한 것이다.

ABSTRACT

We ascertain conditions and structures on categories and semigroups which admit the construction of pseudo-products and trace products respectively, making their connection as precise as possible. This topic is modelled on the ESN Theorem and its generalization to ample semigroups. Unlike some other variants of ESN, it is self-dual (two-sided), and the condition of commuting projections is relaxed. The condition that projections form a band (are closed under multiplication) is shown to be a very natural one. One-sided reducts are considered, and compared to (generalized) D-semigroups. Finally the special case when the category is a groupoid is examined.

연구 동기 및 목표

• 사영원소가 서로 교환되기를 요구하는 조건을 완화하고, 대신 사영원소가 반대칭을 이룰 것을 요구함으로써 ESN 정리를 일반화하는 것.
• 추적과 가상곱을 통해 사영원소의 반대칭을 이룬 범주(전사 범주)와 특정 반군의 클래스 사이에 정확하고 자기 dual인 양방향 대응을 수립하는 것.
• 반대칭의 사영원소가 역반군과 군oids의 구조를 어떻게 확장하는지, 특히 제한 유사 반군의 맥락에서 그 역할을 명확히 하는 것.
• 기본 범주가 군oid일 경우를 특수하게 고려하여, ∗-국소화 가능한 반군이 정확히 전사 군oids에서 유래하는 반군임을 보여주는 것.

제안 방법

• 사영원소의 반대칭을 이룬다는 조건을 만족시키는, 왼쪽과 오른쪽 제한을 나타내는 이원 연산 |를 갖춘 범주로 전사 범주를 정의하며, (3.1a)–(3.1f)의 공리계를 만족시켜 항등원 집합 C+가 e|f에 대해 반대칭이 되도록 보장한다.
• 가상곱 x ⊗y = (x|y+) ◦(x−|y)를 도입하여, 범주 연산 ◦와 제한 연산 |를 모두 확장하며, 그 결합법칙과 구조와의 호환성을 증명한다.
• 전사 범주에 대해 가상곱을 적용하면 국소화 가능한 반군 (S, ·, +, −)을 얻으며, 여기서 x+ = xx∗ 및 x− = x∗x로 정의된다.
• ∗-국소화 가능한 반군을 공리 (8.1a)–(8.1e)로 정의하여 정규 *-반군을 일반화하고, x∗∗= x를 만족하고 아이디포텐트를 고정하는 호환 가능한 인보리션 ∗의 존재를 보장한다.
• 반군이 ∗-국소화 가능할 조건은 그에 대응하는 범주 C(S)가 전사 군oid임과 동치임을 증명함으로써, 범주적 이중성을 수립한다.
• 이중성을 활용하여, ∗-국소화 가능한 반군의 모든 아이디포텐트는 사영원소임을 보이며(즉, x+ = x− = x), 이러한 반군은 오르소드임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 사영원소의 반대칭을 이루는 범주가 추적 또는 가상곱 구조를 갖추어 반군의 구조를 복원할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 사영원소의 반대칭 조건(곱에 대해 닫혀 있음)이 표준 ESN 정리의 가정을 어떻게 일반화하거나 완화하는가? 특히 아이디포텐트의 교환 조건을 어떻게 완화하는가?
• RQ3 가상곱 구조의 정확한 범주적 이중성은 무엇이며, 이론이 어떻게 자기 이중성을 유지하는가?
• RQ4 ∗-국소화 가능한 반군과 전사 군oids 사이의 관계는 무엇이며, 인보리션 ∗는 이 이중성에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 군oid의 경우에서, 가상곱 구조를 통해 어떤 구조적 성질(예: 아이디포텐트가 사영원소임)이 도출되는가?

주요 결과

• 가상곱 x ⊗y = (x|y+) ◦(x−|y)는 결합법칙을 만족하고, 범주 연산과 제한 사상 모두를 확장하며, 범주 위에서 잘 정의된 이항 연산을 이룬다.
• 범주는 전사 범주일 조건은 그에 대응하는 반군 S(C)가 국소화 가능한 반군임과 동치이며, 이는 범주-구조적 이중성을 수립한다.
• 반군 (S, ·, ∗)이 ∗-국소화 가능할 조건은 그에 대응하는 범주 C(S)가 전사 군oid임과 동치이며, 이는 완전한 범주적 특성화를 제공한다.
• ∗-국소화 가능한 반군에서는 모든 아이디포텐트 e에 대해 e+ = e− = e를 만족하므로, 모든 아이디포텐트는 사영원소이며, 반군은 오르소드이다.
• ∗-국소화 가능한 반군의 인보리션 ∗는 x∗∗= x를 만족하고 모든 아이디포텐트를 고정하며, 공리 (8.1a)–(8.1e)는 국소화 가능한 구조와의 호환성을 보장한다.
• 이론은 자기 이중적이다: 가상곱의 구성과 왼쪽·오른쪽 작용의 이중성은 모든 연산의 역행에도 불구하고 유지된다.