[논문 리뷰] Trading inference effort versus size in CNF Knowledge Compilation

Matthew Gwynne, Oliver Kullmann|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 21.

Logic, Reasoning, and Knowledge참고 문헌 16인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 추론 효율성과 표현 크기 사이의 체계적 트레이드오프를 위해 CNF 지식 컴파일 형식의 계층 구조인 $\pi_k$, $\pi_k^c$, $\pi_k^w$를 도입한다. 각 $k$에 대해 $\pi_{k+1}$에서 다항 크기의 표현을 가질 수 있는 부울 함수가 존재하지만 $\pi_k$에서는 지수 크기로 필요로 하므로, 각 수준 간의 엄격한 분리가 성립하며, 계층적 지식 컴파일의 표현 능력에 대한 추측을 발전시킨다.

ABSTRACT

Knowledge Compilation (KC) studies compilation of boolean functions f into some formalism F, which allows to answer all queries of a certain kind in polynomial time. Due to its relevance for SAT solving, we concentrate on the query type "clausal entailment" (CE), i.e., whether a clause C follows from f or not, and we consider subclasses of CNF, i.e., clause-sets F with special properties. In this report we do not allow auxiliary variables (except of the Outlook), and thus F needs to be equivalent to f. We consider the hierarchies UC_k <= WC_k, which were introduced by the authors in 2012. Each level allows CE queries. The first two levels are well-known classes for KC. Namely UC_0 = WC_0 is the same as PI as studied in KC, that is, f is represented by the set of all prime implicates, while UC_1 = WC_1 is the same as UC, the class of unit-refutation complete clause-sets introduced by del Val 1994. We show that for each k there are (sequences of) boolean functions with polysize representations in UC_{k+1}, but with an exponential lower bound on representations in WC_k. Such a separation was previously only know for k=0. We also consider PC < UC, the class of propagation-complete clause-sets. We show that there are (sequences of) boolean functions with polysize representations in UC, while there is an exponential lower bound for representations in PC. These separations are steps towards a general conjecture determining the representation power of the hierarchies PC_k < UC_k <= WC_k. The strong form of this conjecture also allows auxiliary variables, as discussed in depth in the Outlook.

연구 동기 및 목표

• CNF 기반 지식 컴파일 형식의 계층을 체계적으로 정의하고 분석하여, 문장 함의(query)를 효율적으로 처리할 수 있도록 한다.
• 지식 컴파일에서 표현력이 더 높은 형식에서 더 낮은 표현력의 형식으로 컴파일할 때 발생하는 최악의 경우 크기 팽창 문제를 해결한다.
• 각 수준의 $\pi_k$ 계층이 이전 수준보다 엄격히 더 높은 표현 능력을 지닌다는 것을 보여주며, 엄격한 크기 제약 조건 하에서도 이를 입증한다.
• 보조 변수가 지식 컴파일에서 수행하는 역할을 분석하고, 변수의 존재를 고려할 때의 절대 조건과 상대 조건을 구분한다.
• SAT 해결 및 자동 추론 시스템에서 계층적 CNF 형식을 사용하는 데 이론적 기반을 강화한다.

제안 방법

• CNF 문장 집합의 하위집합으로서 $\pi_k$, $\pi_k^c$, $\pi_k^w$의 형식적 계층을 도입하며, 각 수준에서 다항 시간 내에 문장 함의(CE) 쿼리를 처리할 수 있도록 한다.
• 다운된 문장 집합과 극단적 트리 구조를 활용하여 최소 전제 집합과 불만족 가능성 특성을 제어할 수 있는 부울 함수를 구성한다.
• 트리거 하이퍼그래프와 총 최소 전제 집합을 적용하여 유닛 프로파게이션과 해상법에 대한 문장 집합의 난이도를 분석한다.
• 최소 불만족 가능성과 프로파게이션 완전성의 증명 기법을 활용하여, 하위 수준 클래스에서 표현 크기의 지수적 하한을 도출한다.
• 절대 조건(전체 공식 내 보조 변수 허용)과 상대 조건(원래 변수에만 집중)이라는 두 가지 조건 하에서 형식을 비교한다.
• 기존의 DNNF 및 Tseitin 번역 결과를 활용하여, 존재 기술화가 있는 $\pi_k[\exists]$ 및 $\pi_k[\exists]$ 클래스의 표현 능력을 맥락화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CNF 지식 컴파일의 $\pi_k$ 계층에서 연속된 수준 간의 표현 능력을 체계적으로 분리할 수 있는가?
• RQ2 부울 함수를 $\pi_{k+1}$에서 $\pi_k$로 컴파일할 때 최악의 경우 크기 팽창은 어느 정도인가?
• RQ3 보조 변수는 절대 조건과 상대 조건에서 CNF 표현의 크기와 추론 효율성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 모든 $k \geq 1$에 대해 $\pi_k$에서는 다항 크기의 표현을 가지지만 $\pi_{k-1}$에서는 지수 크기로 필요로 하는 부울 함수가 존재하는가?
• RQ5 특히 존재 기술화 하에서, $\pi_k$ 클래스가 DNNF와 같은 기존 지식 컴파일 언어를 시뮬레이션하거나 포괄할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $k \in \mathbb{N}_0$에 대해 $\mathcal{UC}_{k+1}$에서 다항 크기의 표현을 가질 수 있는 부울 함수의 수열이 존재하지만, $\mathcal{WC}_k$에서는 지수 크기로 필요로 한다.
• 논문은 $\mathcal{UC}_{k+1}$와 $\mathcal{WC}_k$ 사이에 엄격한 분리를 확립하며, 이는 이전에 $k=0$에 대해서만 알려진 분리의 일반화이다.
• $\mathcal{UC}$에서는 다항 크기의 표현을 가질 수 있지만 $\mathcal{PC}$에서는 지수 크기로 필요로 하는 부울 함수가 존재하며, 이는 이전 결과를 강화한다.
• $\mathcal{PC}$는 표현 크기 측면에서 $\mathcal{UC}$보다 엄격히 작으며, 둘 다 다항 시간 내에 문장 함의를 처리할 수 있다.
• 절대 조건(보조 변수 허용) 하에서 $\mathcal{UC}[\exists]$와 $\mathcal{UC}_k[\exists]$는 VA, IM, EQ, SE와 같은 쿼리의 다항 시간 결정 가능성을 유지하지 못하지만, $\mathcal{UC}_k$는 그렇지 않다.
• 상대 조건은 $\exists\mathcal{UC}$를 $\exists\mathcal{PC}$로 변환할 수 있도록 하지만, 이는 모든 클래스로 확장되지 않으며, 닫힘 성질의 구조적 차이를 드러낸다.