[논문 리뷰] Transport information geometry I: Riemannian calculus on probability simplex

Wuchen Li|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 16.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 31인용 수 32

한 줄 요약

이 논문은 선형 가중 라플라시안 연산자를 기반으로 하는 비선형 척도 텐서를 갖는 정규화된 측도 공간에 임bedding하여, $L^2$-Wasserstein 거리계를 사용해 단형확률단체 위에서 리만 기하학을 수립한다. 주요 기여는 비틀림이 없는 크리스토펠 기호, 리베비티바 연결, 곡률 텐서, 체적 형식, 라플라스-베르트라미 및 헤시안 연산자에 대한 명시적 유도이며, 피셔-레오 메트릭과 워셔스타인 메트릭 사이의 새로운 연결 고리가 바크리-에메리 $\Gamma_2$ 연산자에 의해 제공된다.

ABSTRACT

We formulate the Riemannian calculus of the probability set embedded with $L^2$-Wasserstein metric. This is an initial work of transport information geometry. Our investigation starts with the probability simplex (probability manifold) supported on vertices of a finite graph. The main idea is to embed the probability manifold as a submanifold of the positive measure space with a nonlinear metric tensor. Here the nonlinearity comes from the linear weighted Laplacian operator. By this viewpoint, we establish torsion-free Christoffel symbols, Levi-Civita connections, curvature tensors and volume forms in the probability manifold by Euclidean coordinates. As a consequence, the Jacobi equation, Laplace-Beltrami and Hessian operators on the probability manifold are derived. These geometric computations are also provided in the infinite-dimensional density space (density manifold) supported on a finite-dimensional manifold. In particular, an identity is given connecting the Baker-{É}mery $Γ_2$ operator (carr{é} du champ it{é}r{é}) by connecting Fisher-Rao information metric and optimal transport metric. Several examples are demonstrated.

연구 동기 및 목표

• 밀도 다양체에서 크리스토펠 기호, 라플라스 연산자, 체적 형식에 대한 개방 문제를 다루며, $L^2$-Wasserstein 거리계를 갖춘 단형확률단체 위에서 리만 미적분을 수립하는 것.
• 유한 그래프에서의 기하적 구조를 유한차원 리만다양체 위의 무한차원 밀도다양체로 확장하는 것.
• 바크리-에메리 $\Gamma_2$ 연산자를 통해 피셔-레오 정보 메트릭과 최적 운반 메트릭 사이의 표준적 연결을 수립하는 것.
• 헤시안, 라플라스-베르트라미 연산자, 자코비 방정식과 같은 기하 객체에 대한 명시적 공식을 제공하는 것.
• 빌라니의 책에서 제기된 열린 문제 15.11을 해결하기 위해, 밀도다양체 위의 함수에 대한 헤시안의 닫힌 형태 표현을 유도하는 것.

제안 방법

• 선형 가중 라플라시안 연산자를 기반으로 하는 비선형 리만 메트릭 텐서를 갖는 정규화된 측도 공간에 밀도다양체를 부분다양체로 포함시키는 것.
• 유클리드 좌표와 라플라시안을 통한 정의된 메트릭 텐서를 사용하여, 단형확률단체에서 비틀림이 없는 크리스토펠 기호와 리베비티바 연결을 유도하는 것.
• 정규화된 측도 공간의 내재 기하학을 활용하여 곡률 텐서, 체적 형식, 라플라스-베르트라미 연산자를 구성하는 것.
• 비슷한 기하 구조를 사용하여, 유한차원 다류체 위에 지지된 무한차원 밀도다양체로 유도를 확장하는 것.
• 피셔-레오 메트릭과 워셔스타인 메트릭 간의 연결 고리를 이용하여, 밀도다양체 위의 메트릭 텐서를 통해 바크리-에메리 $\Gamma_2$ 연산자를 유도하는 것.
• 확률다양체 위에서의 드리프트-디퓨전 스토크래틱 과정을 유도하여, 그 정적 분포가 길버스 측도임을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 밀도다양체 위에서 $L^2$-Wasserstein 거리계를 갖는 경우, 크리스토펠 기호, 라플라스-베르트라미 연산자, 체적 형식, 발산 연산자가 엄밀하게 정의될 수 있는가?
• RQ2 피셔-레오 메트릭과 워셔스타인 메트릭 사이에 바크리-에메리 $\Gamma_2$ 연산자와 연결된 기하적 연결 고리가 존재하는가?
• RQ3 $L^2$-Wasserstein 거리계 하에서 밀도다양체 위의 함수에 대한 헤시안 연산자의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ4 비선형 메트릭 텐서를 갖는 정규화된 측도 공간에서, 유한 그래프 위의 확률다양체의 리만 기하학은 어떻게 도출될 수 있는가?
• RQ5 워셔스타인 거리계 하에서의 경로하강의 기하학적 구조에 대응하는 확률다양체 위의 스토크래틱 과정은 무엇이며, 그 정적 분포는 무엇인가?

주요 결과

• 정규화된 측도 공간에 임베딩된 확률다양체는 비틀림이 없는 리베비티바 연결을 가지며, 선형 가중 라플라시안 연산자를 통해 명시적인 크리스토펠 기호가 도출된다.
• 이산 확률다양체 위의 체적 형식은 명시적으로 구성되었으며, 양의 부등식 영역의 기하학과 일치함을 보였다.
• 메트릭 텐서와 곡률 구조를 사용하여 확률다양체 위의 라플라스-베르트라미 연산자와 헤시안 연산자가 도출되었으며, 다양체 위의 함수 기능 분석을 위한 도구를 제공한다.
• 밀도다양체 위의 함수에 대한 헤시안의 닫힌 형태 표현이 도출되었으며, 빌라니의 책에서 제기된 열린 문제 15.11을 해결하였다.
• 워셔스타인 거리계 하에서의 확률다양체 위의 드리프트-디퓨전 과정은 정적 분포가 길버스 측도인 스토크래틱 미분 방정식을 만족함을 보였으며, $\mathbb{P}^*(\rho) = \frac{1}{K}e^{-\mathcal{F}(\rho)/\beta}$ 로 주어진다.
• 피셔-레오 메트릭과 워셔스타인 메트릭의 조합에 기반한 바크리-에메리 $\Gamma_2$ 연산자와의 새로운 항등식이 수립되었으며, 정보기하학과 최적 운반 이론 사이의 깊은 기하학적 연결 고리를 드러냈다.