[논문 리뷰] Trialities of orthosymplectic $\mathcal{W}$-algebras

Thomas Creutzig, Andrew R. Linshaw|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 20.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 62인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 B, C, D, O 유형의 직교심플렉틱 ${\mathcal{W}}$-대수의 아핀 코스터로부터 구성된 일차 파arameter를 가진 버텍스 대수들 사이에서 네 가지 가족의 삼중성 동형사상(_trials_ismorphism)을 확립한다. 이는 이전의 A형 삼중성 결과를 일반화한 것으로, 보편적인 두 파arameter 버텍스 대수 ${\mathcal{W}}(c,\lambda)$를 사용하여 매개수 공간 내의 잘라내기 곡선을 식별하고, 특정 수준 변환 하에서 코스터 ${\mathcal{C}}^{\psi}_{iX}(n,m)$가 서로 동형임을 증명한다. 이는 페긴-프렌켈 대칭성, 코스터 구성, 그리고 고전적 및 초대수 대수에 대한 대칭 정리들을 통합한다.

ABSTRACT

Trialities of $\mathcal{W}$-algebras are isomorphisms between the affine cosets of three different $\mathcal{W}$-(super)algebras, and were first conjectured in the physics literature by Gaiotto and Rapčák. In this paper we prove trialities among eight families of $\mathcal{W}$-(super)algebras of types $B$, $C$, and $D$. The key idea is to identify the affine cosets of these algebras with one-parameter quotients of the universal two-parameter even spin $\mathcal{W}_{\infty}$-algebra which was recently constructed by Kanade and the second author. Our result is a vast generalization of both Feigin-Frenkel duality in types $B$, $C$, and $D$, and the coset realization of principal $\mathcal{W}$-algebras of type $D$ due to Arakawa and us. It also provides a new coset realization of principal $\mathcal{W}$-algebras of types $B$ and $C$. As an application, we prove the rationality of the affine vertex superalgebra $L_k(\mathfrak{osp}_{1|2n})$, the minimal $\mathcal{W}$-algebra $\mathcal{W}_{k-1/2}(\mathfrak{sp}_{2n+2}, f_{ ext{min}})$, and the coset $ ext{Com}(L_k(\mathfrak{sp}_{2m}), L_k(\mathfrak{sp}_{2n}))$, for all integers $k,n,m \geq 1$ with $m

연구 동기 및 목표

• A형 삼중성 이론을 고전적 및 직교심플렉틱 리 초대수군의 유형 B, C, D, O로 확장하여, ${\mathcal{W}}$-대수 삼중성 이론을 확장한다.
• 다양한 리 초대수군에 대해 $\mathfrak{g} = \mathfrak{a} \oplus \mathfrak{b} \oplus \rho_{\mathfrak{a}} \otimes \rho_{\mathfrak{b}}$로 정의된 ${\mathcal{W}}$-대수의 아핀 코스터 간의 동형사상을 수립한다.
• 보편적인 두 파arameter 버텍스 대수 ${\mathcal{W}}(c,\lambda)$를 사용하여, 고전적 및 초대수 대수의 다양한 유형에서 알려진 대칭성(예: 페긴-프렌켈 대칭성, 코스터 실현)을 통합적인 프레임워크 안에서 기술한다.

제안 방법

• 저자들은 보편적인 두 파arameter 버텍스 대수 ${\mathcal{W}}(c,\lambda)$를 사용하여 $\mathbb{C}^2$ 내의 잘라내기 곡선을 통해 일차 파arameter 몫을 매개수화하고, 관련된 이상을 식별하여 코스터를 정의한다.
• 그들은 아핀 코스터 ${\mathcal{C}}^{\psi}_{iX}(n,m)$를 ${\mathcal{W}}(c,\lambda)$의 몫으로 정의하며, 여기서 $\psi = k + h^\vee$는 임계적으로 이동된 수준이다.
• 핵심 기법은 ${\mathcal{W}}^k(\mathfrak{g}, f_{\mathfrak{b}})$ 유형의 ${\mathcal{W}}$-대수의 표현 이론을 분석하고, 이들이 유형 ${\mathcal{W}}(1^{\dim \mathfrak{a}}, 2, 4, \dots, 2m, ((d_{\mathfrak{b}}+1)/2)^{d_{\mathfrak{a}}})$임을 확인하며, 그들의 아핀 부분대수를 식별하는 것이다.
• 동형사상은 다양한 유형 간의 코스터의 구조와 그에 따른 파라미터 의존성 간의 매칭을 통해 증명되며, 유리수 방정식으로 정의된 수준 변환 $\psi \mapsto \psi'$ 및 $\psi \mapsto \psi''$를 사용한다.
• $\mathbb{Z}_2$ 대칭성을 가지는 경우(유형 B, D, O), 코스터는 아핀 코스터의 $\mathbb{Z}_2$-오르비폭을 정의한다.
• 결과는 명시적 계산과 기존의 코스터 실현 및 대칭 정리(예: ${\mathcal{W}}_s(\mathfrak{so}_{2r})^{\mathbb{Z}_2}$ 및 ${\mathcal{W}}_s(\mathfrak{osp}_{1|2r})^{\mathbb{Z}_2}$)와의 비교를 통해 검증된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 삼중성 동형사상은 A형에서 고전적 및 직교심플렉틱 리 초대수군의 유형 B, C, D, O로 확장될 수 있는가?
• RQ2 $\mathfrak{g} = \mathfrak{a} \oplus \mathfrak{b} \oplus \rho_{\mathfrak{a}} \otimes \rho_{\mathfrak{b}}$로 정의된 ${\mathcal{W}}$-대수의 아핀 코스터가 수준 변환 하에서 삼중성을 가지는가?
• RQ3 보편적인 두 파arameter 버텍스 대수 ${\mathcal{W}}(c,\lambda)$는 다양한 유형 간의 코스터와 그 동형사상을 균일하게 기술할 수 있는가?
• RQ4 새로운 삼중성 관계는 페긴-프렌켈 대칭성 및 주요 ${\mathcal{W}}$-대수의 코스터 실현과 일관된가?
• RQ5 수준 변환 $\psi \mapsto \psi'$ 및 $\psi \mapsto \psi''$는 다양한 유형과 경우 간의 파라미터 의존성을 통합하는가?

주요 결과

• 논문은 네 가지 가족의 삼중성 동형사상을 증명한다: ${\mathcal{C}}^{\psi}_{2B}(n,m) \cong {\mathcal{C}}^{\psi'}_{2O}(n,m-n) \cong {\mathcal{C}}^{\psi''}_{2B}(m,n)$이며, 여기서 $\psi' = \frac{1}{4\psi}$ 이고 $\frac{1}{\psi} + \frac{1}{\psi''} = 2$이며, $m \geq n \geq 0$일 때 유효하다.
• 유형 1C의 경우 삼중성 ${\mathcal{C}}^{\psi}_{1C}(n,m) \cong {\mathcal{C}}^{\psi'}_{2C}(n,m-n) \cong {\mathcal{C}}^{\psi''}_{1C}(m,n)$이 성립하며, $\psi' = \frac{1}{2\psi}$ 이고 $\frac{1}{\psi} + \frac{1}{\psi''} = 1$이며, $m \geq n \geq 0$일 때 유효하다.
• 삼중성 ${\mathcal{C}}^{\psi}_{2D}(n,m) \cong {\mathcal{C}}^{\psi'}_{1D}(n,m-n) \cong {\mathcal{C}}^{\psi''}_{1O}(m-1,n)$이 성립하며, $\psi' = \frac{1}{2\psi}$ 이고 $\frac{1}{2\psi} + \frac{1}{\psi''} = 1$이며, $m \geq n \geq 0$, $n \geq 2$일 때 유효하다.
• 삼중성 ${\mathcal{C}}^{\psi}_{1O}(n,m) \cong {\mathcal{C}}^{\psi'}_{1B}(n,m-n) \cong {\mathcal{C}}^{\psi''}_{2D}(m+1,n)$이 성립하며, $\psi' = \frac{1}{\psi}$ 이고 $\frac{1}{\psi} + \frac{1}{2\psi''} = 1$이며, $m \geq n \geq 0$일 때 유효하다.
• 특별한 경우 ${\mathcal{C}}^{\psi}_{2D}(n,0) \cong {\mathcal{C}}^{\psi''}_{1O}(0,n-1)$이 성립하며, $\frac{1}{2\psi} + \frac{1}{\psi''} = 1$이며, 이는 이전에 [ACL]에서 확립된 D형 주요 ${\mathcal{W}}$-대수의 코스터 실현에 대한 새로운 증명을 제공한다.
• 논문은 ${\mathcal{W}}_s(\mathfrak{osp}_{1|2r})$의 $\mathbb{Z}_2$-오르비폭 간의 모든 동형사상이 제시된 매개수 변환에서 유래함을 확인하였으며, 중심 전하 $c = -\frac{(1+2m)(1+2n)(2mn - m - n)}{2(m+n)}$을 가진다.