[논문 리뷰] Triangle Tiling III: The Triquadratic Tilings

Michael Beeson|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 05.

Mathematics and Applications참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 3α + 2β = π를 만족하고 α가 π의 유리수배가 아닌 특정 타일 T를 사용하여 삼각형의 N-타일링을 분류한다. 타일링이 존재하는 것은 N이 제곱수와 서로소인 소수들의 곱(≡ ±1 mod 8 또는 2)의 곱이거나, M² + N = 2K²가 M² < N 및 K | M² 조건을 만족하는 양의 정수 해를 가지는 것과 동치임을 증명한다. 이 경우 타일의 변 길이는 a = M, c = K, b = K − M²/K로 정수 길이를 가진다.

ABSTRACT

An N-tiling of triangle ABC by triangle T (the tile) is a way of writing ABC as a union of N copies of T overlapping only at their boundaries. We continue the work of two previous papers on classifying the possible triangle tilings. The results of all three papers together enable us to make some progress on two problems of Erdos about triangle tilings, one of which asks, for which N is there an N-tiling of some triangle by some tile?. This paper takes up a case that was left unsolved in previous work, which is the following. Let the tile T have angles \alpha, \beta, and \gamma, and suppose 3\alpha + 2\beta = \pi, and \alpha is not a rational multiple of \pi. Suppose there is an N-tiling of ABC. Then we classify the triples (ABC), T, N) such that there is an N-tiling of ABC by T. Our solution is as follows: There is an N-tiling of ABC by T if and only if N is a square times a product of distinct primes of the form 8n plus or minus 1, or 2, and the tiling equation M^2 + N = 2K^2 is solvable in positive integers $ and K with M^2 < N and K divides M^2. In that case the tile can be taken to have sides a, b, and c where a=M and c=K and b=K-M^2/K, so all three sides will be integers. Combining this with the results of a previous paper, we obtain a no-tiling theorem: if N is squarefree and N > 6 and divisible by at least one prime congruent to 3 mod 4, then there are no N-tilings of any triangle by any tile, unless the tile has a 120 degree angle.

연구 동기 및 목표

• 이전에 해결되지 않은 삼각형 타일링 분류의 경우, 특히 3α + 2β = π 이며 α가 π의 유리수배가 아닐 때를 해결하기 위해.
• 이러한 각 조건 하에서 삼각형 ABC, 타일 T, N에 대한 모든 삼중조합 (ABC, T, N)에 대해 N-타일링이 존재하는지 여부를 규명하기 위해.
• 에르되시의 타일링 문제에 대한 이전 결과를 확장하여, 이 특수한 경우에서 N-타일링의 완전한 특성화를 제공하기 위해.
• 제곱수인 N > 6가 3 mod 4인 소수로 나누어지는 경우, 타일이 120° 각을 가져야만 N-타일링이 존재할 수 있다는 무타일링 정리를 수립하기 위해.

제안 방법

• 타일링의 해가 존재하는 조건을 특성화하기 위해 대수적 수론과 디오판틴 방정식을 사용한다.
• 타일링이 존재하기 위한 필수 조건으로 타일링 방정식 M² + N = 2K²를 적용하며, 이때 M² < N 및 K가 M²를 나누어야 한다.
• 해가 존재할 경우 타일의 변 길이 a = M, c = K, b = K − M²/K에 대해 기하학적 제약 조건을 유도하여, 모든 변 길이가 정수임을 보장한다.
• 이전의 삼각형 타일링 연구 결과를 통합하여 주어진 매개변수 영역에서 완전한 분류를 수립한다.
• 대체 타일링 구성이 존재하지 않도록 하기 위해 α/π의 무리수 성질을 활용한다.
• 소수 ≡ ±1 mod 8의 수론적 성질과 타일링 방정식의 해 존재성에서의 역할을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3α + 2β = π를 만족하고 α가 π의 유리수배가 아닌 타일 T를 사용하여 어떤 삼각형 ABC의 N-타일링이 존재하는가?
• RQ2 타일 T의 각 조건이 만족될 때, 이러한 타일링이 존재하기 위한 N에 대한 필수 및 필요조건은 무엇인가?
• RQ3 M² + N = 2K²가 M² < N 및 K | M² 조건을 만족하는 양의 정수 해를 가지기 위한 N의 수론적 조건은 무엇인가?
• RQ4 N이 허용 가능할 경우, 타일 T의 변 길이는 타일링 방정식의 해와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 제곱수인 N이 3 mod 4인 소수로 나누어지고, 이때 타일링 가능성에 어떤 제약 조건이 발생하는가?

주요 결과

• 삼각형 ABC의 타일 T를 사용한 N-타일링이 존재하는 것은 N이 제곱수와 서로소인 소수들의 곱(≡ ±1 mod 8 또는 2)의 곱이거나일 때에 한하여 성립한다.
• 이러한 타일링이 존재하기 위해서는 M² + N = 2K²가 M² < N 및 K가 M²를 나누는 양의 정수 해를 가져야 한다.
• 방정식이 해를 가질 경우, 타일 T는 a = M, c = K, b = K − M²/K로 정수 길이를 가진다.
• N이 제곱수이며 6보다 크고, 적어도 하나의 소수 ≡ 3 mod 4로 나누어지는 경우, 타일이 120° 각을 가져야만 N-타일링이 존재한다.
• 3α + 2β = π 이며 α/π가 무리수일 경우 타일링 문제는 완전히 해결된다.
• 주어진 각 조건 하에서 N-타일링의 분류가 완성되어, 에르되시의 타일링 문제 해결에 진전이 이루어진다.