[논문 리뷰] Triangulated category of effective $Witt$-motives $DWM^-_{eff}(k)$

Andrei Druzhinin|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 20.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 1인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 특성 ≠ 2인 완전체 $k$에 대해 Voevodsky-Suslin의 방법을 이용하여 프로젝션 모듈과 대칭 동형사상으로 정의된 윌트 대응을 통해 효과적 윌트 모티브의 삼각 범주 $DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$를 구성한다. 주요 결과는 매끄럽고 아핀인 $X$와 윌트 이동을 갖는 호모토피 불변 노스네비치 층 $\mathscr{F}$에 대해 자연스러운 동형사상 $\operatorname{Hom}_{DWM^{-}_{\text{eff}}(k)}(WM(X),\mathscr{F}[i]) \simeq H^i_{\text{Nis}}(X,\mathscr{F})$를 수립하며, 이는 모티브 코hom로지 프레임워크를 윌트 이론적 맥락으로 일반화한다.

ABSTRACT

The category of effective $Witt$-motives $DWM^-(k)$ with functor $WM\colon Sm_k o DWM^-(k)$ defining motives of smooth affine varieties for perfect field $k$, $char k eq 2$ is constructed. In the construction Voevodsky-Suslin method is applyed to a category of $Witt$-correspondence between affine smooth varieties $WCor_k$ that morphisms are defined by class in $Witt$-group of quadratic space $(P,q_P)$ with $P$ being $k[X imes Y]$-module finitely generated projective over $k[X]$ and $q_P\colon P o Hom_{k[X]}(P,k[X])$ being $k[X imes Y]$-liner isomorphism. And the natural isomorphism $$Hom_{DWM^-_{eff}(k)}(WM(X),\mathcal F[i]) \simeq H^i_{Nis}(X,\mathcal F) $$ for any smooth affine $X$ and homotopy invariant Nisnevich sheave $\mathcal F$ with $Witt$-transfers (that is presheave on the category $WCor_k$ such that its restriction on the category $Sm_k$ is a sheave) is proved.

연구 동기 및 목표

• 특성 ≠ 2인 완전체 $k$에 대해 Voevodsky의 $DM^{-}(k)$ 구축을 일반화하여 효과적 윌트 모티브의 삼각 범주 $DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$를 구성하는 것.
• 매끄럽고 아핀 다양체에 윌트 모티브를 부여하는 함자 $WM: \text{Sm}_k \to DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$를 윌트 대응을 통해 정의하는 것.
• 범주 $DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$ 내의 사상군과 윌트-이동을 갖는 층의 노스네비치 코호몰로지 군 사이의 자연스러운 동형사상을 확립하는 것.
• 호모토피 불변 성질이 유지됨을 보장하기 위해 윌트-이동을 갖는 전층에 대한 노스네비치 층 분해가 호모토피 불변성을 유지함을 증명하여 이전 결과를 강화하는 것.
• 노스네비치 층과 윌트-이동을 갖는 층의 범주 $ShNisWtr$가 아벨 범주이며, 모티브에 대한 유도 범주 프레임워크를 지원함을 보이는 것.

제안 방법

• 매끄럽고 아핀 다양체 사이의 윌트 대응을 다루는 범주 $WCor_k$를 구성하며, 여기서 사상은 $k[X \times Y]$-모듈로서 $k[X]$에 대해 유한 생성 프로젝티브인 $P$와, 대칭적인 $k[X \times Y]$-선형 동형사상 $q_P: P \to \operatorname{Hom}_{k[X]}(P, k[X])$를 갖는다.
• 윌트 대응의 전층 $WCor(-, Y)$를 정의하고, 이를 노스네비치 위상에서 분해하여 $WCor_{Nis}(-, Y)$를 얻으며, 이는 모티브 구성의 기초를 이룬다.
• 노스네비치 층과 윌트-이동을 갖는 유계 상위 복합체의 범주 $D^{-}(ShNisWtr_k)$를 도입하고, 이가 아벨 범주이자 유도 범주를 지원함을 증명한다.
• 호모토피 불변 전층에 대한 노스네비치 층 분해 $\mathscr{F}_{\text{Nis}}$가 엄격하게 호모토피 불변임을 증명하기 위해 자라이지 및 에탈 염가 이sov의 정리를 활용한다.
• 모든 복합체의 호모토피 불변 코호몰로지 층을 갖는 $D^{-}(ShNisWtr_k)$의 전부분범주로 $DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$를 구성한다.
• 반직교 분해와 국소화를 이용하여 $DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$가 $D^{-}(ShNisWtr_k)$의 $X \times \mathbb{A}^1 \to X$ 형태의 사상들에 대한 국소화와 동치임을 보이고, 수반과 Ext-동형사상을 통해 주요 동형사상을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Voevodsky-Suslin의 방법을 고전적 대응이 아닌 윌트 대응을 사용하여 효과적 윌트 모티브의 삼각 범주를 구성하는 데 적용할 수 있는가?
• RQ2 호모토피 불변 전층에 대한 윌트-이동을 갖는 노스네비치 층 분해가 여전히 엄격하게 호모토피 불변인가?
• RQ3 매끄럽고 아phin인 $X$와 윌트-이동을 갖는 호모토피 불변 $\mathscr{F}$에 대해 $\operatorname{Hom}_{DWM^{-}_{\text{eff}}(k)}(WM(X), \mathscr{F}[i])$와 노스네비치 코호몰로지 $H^i_{\text{Nis}}(X, \mathscr{F})$ 사이에 자연스러운 동형사상이 존재하는가?
• RQ4 노스네비치 층과 윌트-이동을 갖는 층의 범주 $ShNisWtr_k$가 아벨 범주이며, 유도 범주 프레임워크를 지원하는가?
• RQ5 범주 $DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$가 $D^{-}(ShNisWtr_k)$의 $X \times \mathbb{A}^1 \to X$ 형태의 사상들에 대한 국소화와 동치인가?

주요 결과

• 범주 $DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$는 $D^{-}(ShNisWtr_k)$의 호모토피 불변 부분으로 구성되며, 모든 매끄럽고 아핀 $X$에 대해 $X \times \mathbb{A}^1 \to X$ 형태의 사상들에 대한 국소화와 동치이다.
• 모든 호모토피 불변 전층에 대한 노스네비치 층 분해 $\mathscr{F}_{\text{Nis}}$는 자라이지 및 에탈 염가 이sov 정리를 통해 엄격하게 호모토피 불변임을 보였다.
• 노스네비치 층과 윌트-이동을 갖는 층의 범주 $ShNisWtr_k$는 아벨 범주이며, 이는 유도 범주를 구성하고 $DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$를 전부분범주로 정의하는 데 기여한다.
• 모든 매끄럽고 아핀 $X$와 윌트-이동을 갖는 호모토피 불변 $\mathscr{F}$에 대해 주요 동형사상 $\operatorname{Hom}_{DWM^{-}_{\text{eff}}(k)}(WM(X), \mathscr{F}[i]) \simeq H^i_{\text{Nis}}(X, \mathscr{F})$가 성립하며, 이는 모티브 코호몰로지의 일반화이다.
• $D^{-}(ShNisWtr_k)$의 유도 범주는 반직교 분해 $\langle \mathcal{B}, \mathcal{A} \rangle$를 갖는다. 여기서 $\mathcal{B}$는 $X \times \mathbb{A}^1 \to X$의 코어를 생성하며, $\mathcal{A}$는 $DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$와 동치이다. 이는 국소화 성질을 확인한다.
• 함자 $WM: \text{Sm}_k \to DWM^{-}_{\text{eff}}(k)$는 $l_{\mathbb{A}} \circ \widetilde{(-)}_{\text{Nis}} \circ Wtr \circ \mathbb{Z}(-)$의 합성으로 정의되며, 각 매끄럽고 아핀 다양체에 대해 그 윌트 모티브를 유도 범주 내에서 부여한다.