[논문 리뷰] Tricomi type boundary value problem with integral conjugation condition for a mixed type equation with Hilfer fractional operator

Erkinjon Karimov|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 30.

Differential Equations and Boundary Problems참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 힐퍼 분수도 도함수를 포함하는 혼합형 편미분방정식에 대해 트리코미 유형의 경계값 문제와 적분 공액 조건을 연구한다. 적분방정식 방법과 에너지 적분 기법을 사용하여, 공액 매개수와 핵 함수에 특정 조건이 만족될 경우 문제의 유일한 해를 증명하며, 프레드홀름 적분방정식 제2형을 통해 해의 표현을 수립한다.

ABSTRACT

In this work, The Tricomi type boundary problem with integral conjugation condition on the type-changing line for the mixed type equation with Hilfer fractional differential operator has been considered. Using method of integral equations, energy integral's method, a unique solvability of the formulated problem has been proved.

연구 동기 및 목표

• 혼합형 방정식에 힐퍼 분수도 미분 연산자를 포함한 트리코미 유형 경계값 문제를 연구한다.
• 유형 전환 선(t=0)에서 적분 공액 조건을 도입하여 고전적 연속성 조건을 일반화한다.
• 적분방정식 및 에너지 적분 기법을 사용하여 문제의 유일한 해 존재성을 확립한다.
• 해의 표현을 제2종 프레드홀름 적분방정식과 재생핵을 통해 유도한다.
• 유일성 보장을 위한 공액 매개수와 핵 함수에 대한 충분조건을 규명한다.

제안 방법

• 영역이 쌍곡형 및 양함수 영역으로 나뉘어진 혼합형 방정식에 대해 힐퍼 분수도 도함수 $ D_{0t}^{eta, ho} $를 적용하며, 여기서 $ \beta \in (0,1] $, $ \rho \in [0,1] $이다.
• 적분방정식 방법을 적용하여 경계값 문제를 경계선 $ t=0 $에서의 추적 함수 $ \tau_1(x) $에 대한 제2종 프레드홀름 적분방정식으로 환원한다.
• 에너지 적분 기법을 사용하여 공액 조건과 관련된 이차형식의 부호를 분석함으로써 유일성을 증명한다.
• 이중 매개수 미타그-레플레르 함수 $ E_{\alpha,\beta}(z) $, 분수적 적분, 고유함수 전개를 포함하는 해의 표현을 유도한다.
• 재생핵이 존재하고 핵 함수가 약한 특이성 또는 연속성을 만족시키는 조건 하에서 유도된 프레드홀름 방정식의 해 존재성을 확립한다.
• 해가 모든 경계 조건과 공액 조건(일반화된 힐퍼 유형의 전송 조건 포함)을 만족함을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 힐퍼 분수도 도함수와 적분 공액 조건을 갖는 트리코미 유형 경계값 문제가 어떤 조건에서 유일하게 해를 갖는가?
• RQ2 적분 공액 조건은 유형 전환 선 $ t=0 $을 넘는 해의 정칙성과 전송 특성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 해는 제2종 프레드홀름 적분방정식을 통해 명시적으로 표현될 수 있는가? 그 해 존재성 조건은 무엇인가?
• RQ4 매개수 $ \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3 $와 핵 함수 $ P(x,z), Q(x,z) $는 유일성 보장에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 가정 조건인 $ \gamma_2 \geq 0, \gamma_3 \geq 0, P(x,x) \geq 0, Q(x,x) \geq 0 $ 및 $ \partial P/\partial z = -P_1(x)P_1(z) $, $ \partial Q/\partial z = -Q_1(x)Q_1(z) $는 에너지 추정과 유일성 증명에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 공액 매개수 $ \gamma_1 \geq 0 $, $ \gamma_2 \geq 0 $, $ \gamma_3 \geq 0 $, 핵 함수의 대각선 값 $ P(x,x) \geq 0 $, $ Q(x,x) \geq 0 $이며, $ \partial P/\partial z = -P_1(x)P_1(z) $, $ \partial Q/\partial z = -Q_1(x)Q_1(z) $를 만족할 경우 문제는 유일한 해를 갖는다.
• 해는 제2종 프레드홀름 적분방정식을 통해 표현되며, $ \tau_1(x) - \int_0^l \tau_1(\xi)K(x,\xi)d\xi = F_2(x) $ 형태이며, 연속적이거나 약한 특이성을 갖는 핵 함수 $ K(x,\xi) $를 가진다.
• 재생핵 $ R(x,\xi) $가 존재하여 해를 $ \tau_1(x) = F_2(x) + \int_0^l F_2(\xi)R(x,\xi)d\xi $로 표현할 수 있으며, 이는 제시된 조건 하에서 해 존재성을 보장한다.
• 에너지 적분 추정을 통해 유일성이 증명되며, $ \int_0^l (\tau_1')^2 dx + C \int_0^l \tau_1 \nu_1 dx = 0 $의 항등식은 $ \gamma_i $, $ P(x,x) $, $ Q(x,x) $의 음이 아닌 조건 하에서 $ \tau_1 \equiv 0 $을 이끌어내며, 이는 $ u \equiv 0 $으로 이어진다.
• $ \Omega_1 $에서의 해는 미타그-레플레르 함수 $ E_{\alpha,\alpha+\mu(1-\alpha)}(-k\lambda_n^2 t^\alpha) $를 통해 표현되며, $ \Omega_2 $에서는 다'알랑베르의 공식을 통해 표현된다.
• 유효한 핵 함수의 구체적 예로는 $ P(x,t) = \sin x \cos t $ 및 $ Q(x,t) = e^{-x}(1 + e^{-t}) $가 있으며, 이는 $ l \leq \pi/2 $일 때 유효하다.