[논문 리뷰] Tropical Principal Component Analysis and its Application to Phylogenetics

Ruriko Yoshida, Leon Zhang외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 07.

Genomics and Phylogenetic Studies참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 토픽설 기하학의 맥락에서 두 가지 새로운 열대 주성분 분석(PCA) 방법을 제안한다: 하나는 스티펠 열대 선형 공간에 기반하고 다른 하나는 열대 다면체에 기반하며, 모두 데이터 포인트들 사이의 열대 거리의 최소화를 목표로 한다. 계통발생학에 적용했을 때, 이 방법들은 나무 공간 데이터의 차원을 성공적으로 감소시키며, 특히 열대 다면체 접근법은 초등거리 성질을 유지하고 아피코믹로플라 유전체 데이터에서 위상적 구조를 드러낸다.

ABSTRACT

Principal component analysis is a widely-used method for the dimensionality reduction of a given data set in a high-dimensional Euclidean space. Here we define and analyze two analogues of principal component analysis in the setting of tropical geometry. In one approach, we study the Stiefel tropical linear space of fixed dimension closest to the data points in the tropical projective torus; in the other approach, we consider the tropical polytope with a fixed number of vertices closest to the data points. We then give approximative algorithms for both approaches and apply them to phylogenetics, testing the methods on simulated phylogenetic data and on an empirical dataset of Apicomplexa genomes.

연구 동기 및 목표

• 열대 프로젝티브 토러스 내에서 고차원 데이터의 차원 감소를 위한 고전적 PCA의 열대 해석을 개발하기 위해.
• 나무 공간 데이터의 구조를 활용하여 대규모 계통발생 데이터셋을 분석하는 데 도전하는 문제를 해결하기 위해 열대 기하학의 구조를 활용하기 위해.
• 열대 PCA를 계산하는 데 유의미한 계산 가능성을 제공하면서도 초등거리성과 같은 핵심 생물학적 성질을 유지하는 근사 알고리즘을 제공하기 위해.
• 고전적 PCA의 주성분가 중첩 또는 계층적 포함 성질과 유사한 성질을 열대 PCA의 구조가 가지는지 조사하기 위해.
• 모의 및 실재 계통발생 데이터셋, 특히 아피코믹로플라 유전체에 대해 두 가지 열대 PCA 방법의 성능을 평가하기 위해.

제안 방법

• 열대 프로젝티브 토러스 내에서 데이터 포인트들에 가장 가까운(열대 거리 기준) (s−1)-차원 부분공간으로서 스티펠 열대 선형 공간을 이용해 열대 PCA를 정의한다.
• 두 데이터 포인트 사이의 거리 측정에 열대 거리 $ d_{tr}(v,w) = \max_{i<j} |v_i - w_i - v_j + w_j| $ 를 사용한다.
• 최적의 스티펠 열대 선형 공간 문제를 제곱된 열대 거리의 합을 최소화하는 것으로 공식화하며, $ \mathbb{R}^e/\mathbb{R}\mathbf{1} $ 내에서 $ e $ 개의 점에 대해 열대 부피를 사용해 정확한 해를 도출한다.
• 일반적인 경우를 위해 임의의 세 점을 샘플링하여 최적의 행렬을 찾는 데 초기화하는 히우리스틱 알고리즘을 제안한다.
• 열대 다면체를 이용한 열대 PCA는 $ s $ 개의 점의 열대 볼록 hull로 정의되며, 이는 데이터 포인트들 사이의 총 열대 거리를 최소화한다.
• 최적의 열대 다면체 문제를 혼합정수계획문제로 재구성하고, 반복적 정밀화와 샘플링을 활용한 근사 알고리즘을 개발한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스티펠 열대 선형 공간을 사용하여 열대 프로젝티브 토러스로 고전적 PCA를 의미 있게 확장할 수 있는가?
• RQ2 열대 다면체 기반 PCA는 투영 후에도 계통발생 나무의 초등거리성과 같은 핵심 생물학적 성질을 유지하는가?
• RQ3 모의 및 실제 계통발생 데이터셋에 적용했을 때, 두 열대 PCA 방법의 성능 및 해석 가능성은 어떻게 비교되는가?
• RQ4 고전적 PCA의 주성분 중첩 구조와 유사한 중첩 또는 계층적 포함 성질이 열대 PCA에 존재하는가?
• RQ5 어떤 조건에서 데이터 포인트 집합이 정의하는 스티펠 열대 선형 공간이 원래 나무 공간의 열대 선형 공간에 포함되는가?

주요 결과

• 열대 부피를 사용하여 $ \mathbb{R}^e/\mathbb{R}\mathbf{1} $ 내에서 $ e $ 개의 점에 대한 최적의 열대 초평면(즉, $ (e-1) $-차원 공간)에 대한 정확한 해를 도출하였다.
• 열대 다면체 PCA 접근법은 초등거리성을 유지한다: 투영된 등거리 나무는 여전히 초등거리성을 유지하며, 나무 위상 분포 분석이 가능하다.
• 아피코믹로플라 유전체 데이터셋에서, 투영된 나무 위상은 열대 다면체의 서로 다른 영역에 분포되어 있었으며, 위상에 따라 의미 있는 군집화가 이루어졌음을 시사한다.
• 스티펠 및 열대 다면체 PCA에 대한 근사 알고리즘은 모두 모의 및 실재 계통발생 데이터에 성공적으로 적용되었으며, 실행 가능성은 입증되었다.
• 최적의 스티펠 공간은 유일하지 않다; 최적의 스티펠 공간이 열대 페르마-웨버 점을 포함하지 않는 경우, 동일한 성능을 갖는 다른 최적의 해가 존재한다.
• 열대 PCA 방법은 차원 측면에서 잘 행동한다: $ s $ 개의 점으로 이루어진 스티펠 선형 공간과 열대 다면체 모두 차원이 최대 $ s-1 $ 이며, BHV 거리 볼록 hull이 유도하는 고차원 문제를 피한다.