[논문 리뷰] True and Apparent Scaling: The Proximity of the Markov-Switching Multifractal Model to Long-Range Dependence

Ruipeng Liu, Tiziana Di Matteo외 1명|Warwick Research Archive Portal (University of Warwick)|2007. 04. 11.

Complex Systems and Time Series Analysis인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 실제 및 시뮬레이션 데이터에 대한 일반화된 허스트 지수(H(q))를 추정하여 마르코프 전환 다중분포(MSM) 모델이 금융 시계열에서 관찰되는 경험적 스케일링 행동을 얼마나 잘 재현하는지 평가한다. 충분한 변동성 성분(k ≥ 10)이 존재할 경우, MSM 모델은 실제 장기 기억의 특성을 효과적으로 모방하는 '가짜' 장기 의존성을 생성한다. 이는 유한 범위의 마르코프 성질을 지닌 모델임에도 불구하고 금융 수익률의 진정한 장기 기억을 효과적으로 재현할 수 있음을 시사한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider daily financial data of a collection of different stock market indices, exchange rates, and interest rates, and we analyze their multi-scaling properties by estimating a simple specification of the Markov-switching multifractal model (MSM). In order to see how well the estimated models capture the temporal dependence of the data, we estimate and compare the scaling exponents $H(q)$ (for $q = 1, 2$) for both empirical data and simulated data of the estimated MSM models. In most cases the multifractal model appears to generate `apparent' long memory in agreement with the empirical scaling laws.

연구 동기 및 목표

• 마르코프 전환 다중분포(MSM) 모델이 경험적 금융 시계열의 다중스케일링 특성을 얼마나 잘 재현하는지 평가하기 위해.
• MSM 모델이 경험적 스케일링 지수와 유사한 '가짜' 장기 의존성을 생성하는지 조사하기 위해.
• 다양한 모델 사양에서 경험적 데이터와 시뮬레이션된 MSM 데이터 간의 일반화된 허스트 지수(H(q))와 수정된 R/S 통계량을 비교하기 위해.
• 실제 금융 데이터와 통계적으로 구분되지 않는 스케일링 행동을 생성하기 위해 필요한 최소 변동성 성분 수(k)를 결정하기 위해.

제안 방법

• 주식 지수, 환율, 금리 등을 포함한 일일 금융 데이터에 대해 일반화된 모멘트 방법(GMM)을 사용하여 MSM 모델의 매개변수(σ̂ 및 m̂₀)를 추정한다.
• 경험적 및 시뮬레이션된 시계열에서 q = 1 및 q = 2에 대해 스케일링 지수 H(q)를 계산하기 위해 일반화된 허스트 지수(GHE) 접근법을 사용한다.
• 단기 의존성을 보정하기 위해 截단 지연 시간 τ = 0, 5, 10, 25, 50, 100을 사용하여 로의 수정된 R/S 분석을 적용한다.
• 다양한 수의 변동성 성분(k = 5, 10, 15, 20)을 가진 추정된 MSM 모델에서 합성 시계열을 시뮬레이션하여 스케일링 행동을 비교한다.
• 비용 효율적인 MSM 사양을 사용하여 b = 2 및 γₖ = 0.5로 설정하며, 변동성 성분은 이항 분포를 따르고 마르코프 전이 확률에 따라 갱신된다.
• 랜덤 데이터에 대해 H(1) 및 H(2) 추정치의 편향을 평가하기 위해 몬테카를로 시뮬레이션을 수행하였으며, T = 9372 관측치를 가진 경우 편향이 거의 없음을 확인하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 k개의 변동성 성분을 가진 MSM 모델이 q = 1 및 q = 2에 대해 경험적 스케일링 지수 H(q)를 얼마나 잘 재현할 수 있는가?
• RQ2 MSM 모델은 경험적 금융 데이터의 진정한 장기 기억과 통계적으로 구분되지 않는 '가짜' 장기 의존성을 생성하는가?
• RQ3 변동성 성분 수(k)가 시뮬레이션된 데이터와 경험적 스케일링 행동 간 유사성에 미치는 영향은 어떠한가?
• RQ4 수정된 R/S 검정은 진정한 장기 기억과 MSM 모델이 생성하는 '가짜' 장기 기억을 신뢰성 있게 구분할 수 있는가?
• RQ5 GHE 방법은 MSM 시뮬레이션 데이터에 적용되었을 때 편향을 유발하는가? 그리고 이는 경험적 결과와 비교해 볼 때 어떠한가?

주요 결과

• k ≥ 10일 경우, 모든 테스트된 금융 시리즈에서 시뮬레이션된 MSM 모델이 경험적 값과 유사한 일반화된 허스트 지수 H(1) 및 H(2)를 생성한다.
• 수정된 R/S 검정은 k ≥ 15일 경우 고조각 지연 시간(τ = 100)에서도 단기 의존성의 근본 가설을 기각하지 않으며, 이는 강력한 '가짜' 장기 의존성 행동을 나타낸다.
• k = 5일 경우, 시뮬레이션된 데이터는 경험적 데이터보다 항상 낮은 H(q) 값을 생성하여 기억 생성 능력이 부족함을 시사한다.
• 랜덤 데이터에 대한 일반화된 허스트 지수 추정치(H(1) = 0.4999 ± 0.009, H(2) = 0.4995 ± 0.008)는 편향이 거의 없음을 보여주며, 추정 방법의 신뢰성을 확인한다.
• k ≥ 15인 MSM 모델은 가설 검정을 통해 5% 유의수준에서 경험적 데이터와 통계적으로 구분되지 않는 스케일링 행동을 생성한다.
• 이러한 결과는 GARCH 모델의 이전 연구 결과와 대조되며, GARCH 모델은 경험적 스케일링 지수를 재현하지 못한 바 있다. 이는 MSM 모델이 이 측면에서 뛰어난 성능을 보임을 시사한다.