[논문 리뷰] Truncations of level 1 of elements in the loop group of a reductive group

Eva Viehmann|arXiv (Cornell University)|2009. 07. 14.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 15인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 국소체 위의 재수성 군의 루프 군 원소에 대해 $K$-공역에 관해 불변인 새로운 불변량인 1단계 절단을 도입하고 분류한다. 주요 기여는 $K_1\backslash G(L)/K_1$ 내의 $K$-σ-공역류와 $w \in {}^\mu W$ 인 쌍 $(w,\mu) \in W \times X_*(T)_{\text{dom}}$ 사이의 전단사 사상으로, 이는 Ekedahl-Oort 분할과 Shimura 다양체에서의 뉴턴 다각형에 대한 필요 조건을 연결하는 군론적 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We generalize the notion of Ekedahl-Oort strata to elements in the loop group of any connected reductive group, and call the resulting discrete invariant the truncation of level 1 of the element. We give conditions for the Newton points occurring among the elements of a given truncation of level 1 and especially for the generic Newton point in a given truncation stratum. We prove that truncation strata are locally closed and give a description of the closure of each stratum. We also translate our results back to the original Ekedahl-Oort stratification of the reduction modulo p of Shimura varieties.

연구 동기 및 목표

• 재수성 군의 루프 군 원소에 대해 $K$-σ-공역에 관해 불변인 새로운 불변량인 1단계 절단을 정의하고 연구한다.
• 1단계 절단을 $w \in {}^\mu W$ 이고 $\mu$ 가 도미넌트인 쌍 $(w,\mu)$ 와의 전단사 사상으로 분류한다.
• 절단의 특수화 행동을 기술하고, 주어진 절단 분할에서 $\sigma$-공역류에 대한 군론적 조건을 규명한다.
• Siegel 모듈리 공간의 Ekedahl-Oort 분할과 $p$ 에서 양호한 축소를 갖는 다른 PEL Shimura 다양체로의 일반화와의 관계를 설명한다.

제안 방법

• 표현형으로 $K_1 w \tau_\mu K_1$ 형태를 갖는 원소의 $K$-σ-공역류로 1단계 절단을 정의하며, 여기서 $w \in {}^\mu W$ 이고 $\tau_\mu = x_\mu \epsilon^\mu$ 이다.
• $K_1\backslash G(L)/K_1$ 내의 $K$-σ-공역류 집합과 $\mathcal{T} = \{(w,\mu) \in W \times X_*(T)_{\text{dom}} \mid w \in {}^\mu W\}$ 집합 사이의 전단사 사상 수립을 통해 정리 1.1 증명.
• 확장된 아핀 웨일 군 $\widetilde{W} = N_T(L)/T(\mathcal{O})$ 와 파라보릭 부분군 $P_\mu = M_\mu B$ 의 구조를 이용하여 이중 코셋과 그들의 $\sigma$-공역 행동을 분석.
• $Iw\tau_\mu I$ 내의 모든 원소가 $I$-σ-공역류로 $K_1 w\tau_\mu K_1$ 내의 원소로 변환 가능하다는 것을 증명하여, 아이와호리와 $K$-이중 코셋의 구조를 연결.
• $p$-나누어지지 않는 군의 딜레옹느 모듈 기술을 통해 절단 불변량을 Ekedahl-Oort 분할과 연관시키며, 절단 유형이 프로베니우스 자기사상의 $K$-σ-공역류에 대응함을 보인다.
• 루프 군 내의 폐쇄 관계를 응용하여, Ekedahl-Oort 분할 $S_w$ 내의 일반 뉴턴 다각형이 $\overline{S_w}$ 내의 짧은 원소들 중에서 최대 뉴턴 다각형임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $K_1\backslash G(L)/K_1$ 내의 $K$-σ-공역류의 구조는 어떻게 되며, 어떻게 분류할 수 있는가?
• RQ2 1단계 절단은 특수화에 대해 어떻게 행동하며, 주어진 절단 분할 내의 $\sigma$-공역류를 결정하는 군론적 조건은 무엇인가?
• RQ3 절단 불변량은 Siegel 모듈리 공간과 다른 PEL Shimura 다양체의 Ekedahl-Oort 분할과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 주어진 Ekedahl-Oort 분할 내에서 절단 유형과 뉴턴 다각형 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 루프 군 내의 폐쇄 관계를 통해 Ekedahl-Oort 분할 내의 일반 뉴턴 다각형을 절단 불변량으로 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• $K_1\backslash G(L)/K_1$ 내의 $K$-σ-공역류 집합은 $\mathcal{T} = \{(w,\mu) \in W \times X_*(T)_{\text{dom}} \mid w \in {}^\mu W\}$ 와 전단사 사상이 존재하여 1단계 절단의 완전한 분류를 확립한다.
• $Iw\tau_\mu I$ 내의 모든 원소는 $I$-σ-공역류로 $K_1 w\tau_\mu K_1$ 내의 원소로 변환 가능하여 아이와호리와 $K$-이중 코셋의 구조를 연결한다.
• 1단계 절단은 $K$-σ-공역에 관해 불변이며, 코트위츠가 연구한 $\sigma$-공역류 불변량의 보완을 제공한다.
• Siegel 모듈리 공간 $\mathcal{A}_g$ 에서 Ekedahl-Oort 분할 $S_w$ 내의 일반 뉴턴 다각형은 $\overline{S_w}$ 내의 짧은 원소들 중에서 최대 뉴턴 다각형이며, 이를 정리 7.3에서 보였다.
• $G = GSp_{2g}$ 인 루프 군 $LG$ 에서의 폐쇄 관계는 Ekedahl-Oort 분할의 것과 일치하며, 절단 분할 $S_{w,\mu}$ 가 그 이소겐리 클래스 내에서 최소 $p$-나누어지지 않은 군을 포함하는 것은 $S_{w_0,\mu} \subseteq \overline{S_{w,\mu}}$ 인 것과 동치이다.
• 이 이론은 각 이소겐리 클래스 내에 $\mu$ 에 대응하는 $K$-이중 코셋에 짧은 원소가 포함된 대표원소가 존재함을 시사하지만, 비분할인 $G$ 에서는 그러한 대표원소가 유일하지 않을 수 있다.