[논문 리뷰] Tulczyjew's Triplet for Lie Groups II: Dynamics

Oğul Esen, Hasan Gümral|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 23.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 34인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 툴체이에프의 삼중체 형식을 리 군 위의 라그랑주 및 해밀턴 역학으로 확장하며, 전역적으로 비틀린 심플렉틱 공간에서의 라그랑주 부분다양체로 표현된 비틀린 오일러-라그랑주 및 해밀턴 방정식을 제시한다. 심플렉틱 축소를 통해 옐러-파벨 및 리-파울슨 방정식을 유도하고, 일반화된 레지스터 변환을 수립하며, 비틀린 및 축소된 역학에 대해 모어스 가족을 도입하여 리 군 위의 불변 역학계에 대한 통합적인 기하학적 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

Taking configuration space as a Lie group, the trivialized Euler-Lagrange and Hamilton's equations are obtained and presented as Lagrangian submanifolds of the trivialized Tulczyjew's symplectic space. Euler-Poincaré and Lie-Poisson equations are presented as Lagrangian submanifolds of the reduced Tulczyjew's symplectic space. Tulczyjew's generalized Legendre transformations for trivialized and reduced dynamics are constructed.

연구 동기 및 목표

• 구성공간이 리 군인 역학계에 대해 툴체이에프의 심플렉틱 삼중체 형식을 일반화하는 것.
• 전역적으로 비틀린 툴체이에프 공간 $^1TT^*G$ 내에서 비틀린 오일러-라그랑주 및 해밀턴 방정식을 라그랑주 부분다양체로 표현하는 것.
• 심플렉틱 축소를 통해 $\mathfrak{z}_d = \mathcal{O}_\lambda \times \mathfrak{g}^* \times \mathfrak{g}$ 에서 옐러-파벨 및 리-파울슨 역학을 라그랑주 부분다양체로 기술하는 것.
• 모어스 가족을 사용하여 비틀린 및 축소된 역학 간의 일반화된 레지스터 변환을 수립하는 것.
• 플라즈마 역학(바스터-파울슨 방정식)에 기반하여 열악한 시스템을 위한 기하학적 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 첫 번째 종류의 전역 비틀기를 적용하여 리 군 작용을 반복된 접선 및 코타angent 다발로 올리며, $TG \simeq G \circledS \mathfrak{g}$ 및 $T^*G \simeq G \circledS \mathfrak{g}^*$ 를 식별한다.
• 심플렉틱 구조 $^1\Omega_{T^*G}^\flat$ 를 사용하여 $^1TT^*G$ 내에서 비틀린 역학을 라그랑주 부분다양체로 표현한다.
• fibrations over $\mathfrak{g}^*$ 및 $\mathfrak{g}$ 를 갖는 $G \circledS (\mathfrak{g} \times \mathfrak{g}^*)$ 상에서 모어스 가족을 통해 일반화된 레지스터 변환을 구축한다.
• 비틀린 삼중체에 대해 심플렉틱 축소를 적용하여 축소된 심플렉틱 공간 $\mathfrak{z}_d = \mathcal{O}_\lambda \times \mathfrak{g}^* \times \mathfrak{g}$ 를 얻으며, $\mathfrak{z}_l$ 및 $\mathfrak{z}_h$ 를 $T^*\mathfrak{g}$ 및 $T^*\mathfrak{g}^*$ 로 대체하여 표준 심플렉틱 구조를 복원한다.
• 라그랑주-디랙 및 해밀턴-디랙 도함수 $\mathfrak{d}l: \mathfrak{g} \to \mathfrak{z}_d$ 및 $\mathfrak{d}h: \mathfrak{g}^* \to \mathfrak{z}_d$ 를 사용하여 옐러-파벨 및 리-파울슨 역학을 위한 라그랑주 부분다양체를 생성한다.
• 역 레지스터 변환을 모어스 가족 $E^{h \to l}$ 및 $E^{l \to h}$ 를 통해 $\mathfrak{g} \times \mathfrak{g}^*$ 상에서 수립하며, 축소된 역학과 그 이중 표현을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 첫 번째 종류의 전역 비틀기를 사용하여 툴체이에프의 삼중체 형식을 리 군 구성공간에 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ2 비틀린 오일러-라그랑주 및 해밀턴 방정식은 심플렉틱 공간 $^1TT^*G$ 내에서 어떻게 라그랑주 부분다양체로 기하학적으로 표현되는가?
• RQ3 옐러-파벨 및 리-파울슨 방정식은 어떻게 축소된 심플렉틱 공간 $\mathfrak{z}_d$ 내에서 라그랑주 부분다양체로 나타나는가?
• RQ4 모어스 가족은 비틀린 및 축소된 역학 간의 이중성에 대한 일반화된 레지스터 변환을 어떻게 코딩하는가?
• RQ5 툴체이에프 삼중체의 심플렉틱 축소는 리 군 위의 역학계 기하학적 구조를 어떻게 유지하는가?

주요 결과

• 비틀린 오일러-라그랑주 방정식은 $G \circledS \mathfrak{g}$ 상에서 라그랑주 부분다양체 $\left\{g, \frac{\delta \bar{L}}{\delta \xi}, \xi, T^*R_g \frac{\delta \bar{L}}{\delta g}\right\} \subset {}^1TT^*G$ 로 표현된다.
• 비틀린 해밀턴 방정식은 $G \circledS \mathfrak{g}^*$ 상에서 $\left\{g, \mu, \frac{\delta \bar{H}}{\delta \mu}, -T^*R_g \frac{\delta \bar{H}}{\delta g}\right\} \subset {}^1TT^*G$ 로 표현된다.
• 옐러-파벨 방정식은 $\mathfrak{g}$ 상에서 라그랑주 부분다양체 $\left\{ad_{\xi}^* \frac{\delta l}{\delta \xi}, \frac{\delta l}{\delta \xi}, \xi\right\} \subset \mathfrak{z}_d$ 로 유도된다.
• 리-파울슨 방정식은 $\mathfrak{g}^*$ 상에서 $\left\{ad_{\frac{\delta h}{\delta \mu}}^* \mu, \mu, \frac{\delta h}{\delta \mu}\right\} \subset \mathfrak{z}_d$ 로 표현된다.
• 모어스 가족 $E^{\bar{L} \to \bar{H}}(g, \xi, \mu) = \bar{L}(g, \xi) - \langle \mu, \xi \rangle$ 는 $G \circledS (\mathfrak{g} \times \mathfrak{g}^*) \to G \circledS \mathfrak{g}^*$ 에서 비틀린 라그랑주 역학에서 해밀턴 역학으로의 레지스터 변환을 코딩한다.
• 옐러-파벨 역학을 위한 역 레지스터 변환은 $\mathfrak{g} \times \mathfrak{g}^* \to \mathfrak{g}$ 에서의 모어스 가족 $E^{h \to l}(\xi, \mu) = \langle \mu, \xi \rangle - h(\mu)$ 를 통해 생성된다.