[논문 리뷰] Tur\'an numbers for disjoint paths

Long‐Tu Yuan, Xiao‐Dong Zhang|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 03.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 모든 $ n $ 에 대해 분리된 경로 $ F_m = P_{k_1} igcup \\cdots \\bigcup P_{k_m} $에 대한 트라단 수 $ ex(n, F_m) $를 결정한다. 이는 이전 연구에서 다루어진 큰 $ n $ 에 국한된 결과를 확장한 것이다. 독창적인 구조적 접근을 통해 버시와 켈틀이 제기한 $ ex(n, k \cdot P_l) $에 대한 추측을 확인하고, 동일한 트라단 수를 가진 비동형 그래프의 존재를 규명하여 에르되시와 시모노비츠가 제기한 문제를 해결한다.

ABSTRACT

The Tur\\'{a}n number of a graph $H$, $ex(n,H)$, is the maximum number of edges in any graph of order $n$ which does not contain $H$ as a subgraph. Lidick\\'{y}, Liu and Palmer determined $ex(n, F_m)$ for $n$ sufficiently large and proved that the extremal graph is unique, where $F_m$ is disjoint paths of $P_{k_1}, \\ldots, P_{k_m}$ [Lidick\\'{y},B., Liu,H. and Palmer,C. (2013). On the Tur\\'{a}n number of forests. Electron. J. Combin. 20(2) Paper 62, 13 pp]. In this paper, by mean of a different approach, we determine $ex(n, F_m)$ for all integers $n$ with minor conditions, which extends their partial results. Furthermore, we partly confirm the conjecture proposed by Bushaw and Kettle for $ex(n, k\\cdot P_l)$ [Bushaw,N. and Kttle,N. (2011) Tur\\'{a}n numbers of multiple paths and equibipartite forests. Combin. Probab. Comput. 20 837-853]. Moreover, we show that there exist two family graphs $F_m$ and $F_m^{\\prime}$ such that $ex(n, F_m)=ex(n, F_m^{\\prime})$ for all integers $n$, which is related to an old problem of Erd\\H{o}s and Simonovits.

연구 동기 및 목표

• Lidický, Liu, 그리고 Palmer가 이전에 큰 $ n $ 에서만 확보한 분리된 경로 $ F_m $ 에 대한 트라단 수 $ ex(n, F_m) $ 의 결정 범위를 더 이상 충분히 큰 $ n $ 에 국한되지 않도록 확장하는 것.
• Bushaw와 Kettle가 제기한 $ k \cdot P_l $ (l개 정점으로 이루어진 경로의 $ k $ 개 복제본의 분리합집합)에 대한 트라단 수에 대한 추측을 확인하는 것.
• 비동형 그래프 $ F_m $ 와 $ F_m' $ 이 존재하여 $ ex(n, F_m) = ex(n, F_m') $ 를 만족하는지 조사하여, 에르되시와 시모노비츠가 제기한 오랫동안 미해결이었던 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• 분리된 경로를 피하는 최대 그래프의 구조적 분석을 통해 구성 요소 분해와 정점 이웃 제약 조건을 중심으로 한다.
• 정수 분할을 통한 $ [n, k, l] $ 함수의 정의를 활용하여 경로 합집합의 트라단 수를 계산한다. 이는 $ n = (m-1) + t(l-1) + r $ 형태의 분할을 기반으로 한다.
• 완전 다중분할 그래프와 조인 연산을 포함한 최대 그래프 이론 기법을 적용하여 최대 그래프를 구성하고 경계를 설정한다.
• 경로 $ P_k $ 와 인접한 $ G - P_k $ 내의 정점 수에 기반한 케이스 분석을 수행하며, 간 수와 금지된 부분그래프에 관한 사실을 활용한다.
• 제안된 트라단 수를 초월하는 간 수를 가진 그래프는 반드시 금지된 경로 구성 요소를 포함해야 한다는 모순에 기반한 증명.
• 단일 경로 $ P_m $ 에 대한 트라단 수를 나타내는 함수 $ [n, m] $ 을 사용하여 최대 구성 요소를 비교하고 조합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $ n $ 에 대해 $ m $ 개의 경로 $ P_{k_1}, \dots, P_{k_m} $ 의 분리합집합인 $ F_m $ 에 대해 정확한 트라단 수 $ ex(n, F_m) $ 는 무엇인가? (이전 연구에서 다룬 충분히 큰 $ n $ 에 국한되지 않게).
• RQ2 Bushaw와 Kettle의 $ ex(n, k \cdot P_l) $ 에 대한 추측은 모든 $ n $ 에 대해 성립하는가? 그리고 원래 증명과 다른 방법으로 확인할 수 있는가?
• RQ3 비동형 그래프 $ F_m $ 와 $ F_m' $ 이 존재하여 모든 $ n $ 에 대해 $ ex(n, F_m) = ex(n, F_m') $ 를 만족할 수 있는가? 만약 그렇다면 어떤 조건에서 성립하는가?
• RQ4 $ F_m = \bigcup_{i=1}^m P_{k_i} $ 에 대한 최대 그래프의 완전한 가족은 무엇이며, 경로 길이의 홀짝성에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 경로 합집합의 총 정점 수가 $ n $ 에 비해 작거나 클 경우, 최대 그래프의 구조는 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• Lidický, Liu, 그리고 Palmer의 결과를 확장하여, 모든 $ n $ 에 대해 트라단 수 $ ex(n, F_m) $ 가 결정된다.
• Bushaw와 Kettle의 $ ex(n, k \cdot P_l) $ 에 대한 추측은 모든 $ n $ 에 대해 확인되었으며, 최대 그래프는 $ K_{k-1} \cup t \cdot K_{l-1} \cup K_r $ 또는 홀짝성에 따라 달라지는 조인 구조로 특징지어진다.
• 논문은 두 개의 비동형 그래프 $ F_m $ 와 $ F_m' $ 이 존재하여 모든 $ n $ 에 대해 $ ex(n, F_m) = ex(n, F_m') $ 를 만족함을 규명하였으며, 이는 에르되시–시모노비츠의 비동형 그래프에 대한 트라단 수 문제와 관련된 새로운 예시를 제공한다.
• 경로 길이의 홀짝성에 따라, $ F_m $ 의 최대 그래프는 $ K_{\sum k_i - 1} \cup Ex(n - \sum k_i + 1, P_{k_m}) $ 또는 완전 그래프와 큰 독립집합의 여집합의 조인으로 나타나며, 이는 경로 길이의 홀짝성에 따라 달라진다.
• 모든 $ k_i $ 가 홀수일 경우, 조인 구조에 $ K_2 $ 가 포함되며, 혼합 또는 짝수 길이 경로의 경우 $ \overline{K}_{n - \sum \lfloor k_i/2 \rfloor + 1} $ 를 사용한다. 이때 $ c=1 $ 이며, 모든 $ k_i $ 가 홀수일 경우, 그렇지 않으면 $ c=0 $ 이다.
• 최대 트라단 수는 $ \max\left\{[n,k_1,k_1], [n,k_1+k_2,k_2], \dots, [n,\sum k_i, k_m], [n,\sum \lfloor k_i/2 \rfloor] + c\right\} $ 로 주어지며, $ c $ 는 위에서 정의한 바와 같다.