[논문 리뷰] Twisted cohomology for hyperbolic three manifolds

Pere Menal-Ferrer, Joan Porti|Osaka City University (Osaka City University)|2010. 01. 13.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 17인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 완전하고 비원소적이며 위상적으로 유한한 하이퍼볼릭 3차원 다면체에서 SL(2,C)의 유한차원 복소 표현을 통해 휘어진 계수를 가진 코homology 군의 소멸 정리를 수립한다. Matsushima-Murakami 기법과 Raghunathan의 소멸 정리를 사용하여, 짝수차원 표현 $\rho_{2k}$에 대해 코homology 군 $H^*(M; E_{\rho_{2k}})$가 완전히 소멸함을 증명하며, 이는 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$에서 해당 표현의 강한 국소적 및 무한소적 군비 성질을 암시한다. 이는 고차원 표현으로의 고전적 군비 정리의 일반화이다.

ABSTRACT

For a complete hyperbolic three manifold M, we consider the representations of its fundamental group obtained by composing a lift of the holonomy with complex finite dimensional representations of SL(2,C). We prove a vanishing result for the cohomology of M with coefficients twisted by these representations, using techniques of Matsushima-Murakami. We give some applications to local rigidity.

연구 동기 및 목표

• 완전하고 유한체적, 하이퍼볼릭 3차원 다면체에서 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$의 유한차원 복소 표현을 계수로 하는 휘어진 코homology 군의 소멸 결과를 수립하는 것.
• Weil과 Garland의 고전적 군비 정리를 코homological 방법을 통해 고차원 표현 $\rho_n$로 일반화하는 것.
• 하이퍼볼릭 3차원 다면체의 경계와 끝부분의 코homology를 분석하여 전반적인 소멸성과 군비 성질을 도출하는 것.
• 위상적으로 유한하고 비원소적인 조건 하에서, $\rho_n$의 특성 다양체가 $\chi_{\rho_n}$에서 매끄럽고, 접선 공간이 $H^1(M; E_{\mathrm{Ad} \circ \rho_n})$와 동형임을 증명하는 것.

제안 방법

• 스핀 구조를 이용하여 $\pi_1(M) \to \mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$의 호로니 표현을 $\widetilde{\mathrm{Hol}}: \pi_1(M) \to \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$로 올리기.
• 이를 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$의 기약 유한차원 복소 표현 $V_n$과 병합하여 $\rho_n: \pi_1(M) \to \mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$의 표현을 얻기.
• 관련된 평탄한 벡터 다발 $E_{\rho_n}$을 구성하고, Matsushima-Murakami 소멸 정리를 통해 그 코homology $H^*(M; E_{\rho_n})$를 연구하기.
• Raghunathan의 소멸 정리를 사용하여 포함사상 $\partial\overline{M} \hookrightarrow \overline{M}$ 이 $H^1(M; E_{\rho_n}) \hookrightarrow H^1(\partial\overline{M}; E_{\rho_n})$를 단사로 유도하며, 이미지의 차원이 반으로 줄어듦을 보이기.
• 경계 성분(토러스 및 고차수 표면)의 코homology를 분석하여, $k \geq 1$에 대해 $H^*(\partial\overline{M}; E_{\rho_{2k}}) = 0$임을 보이고, 전반적인 소멸을 이끌어내기.
• 적합한 표현 $\mathfrak{sl}(n,\mathbb{C})$를 기약 성분으로 분해하여 $\dim H^1(M; E_{\mathrm{Ad} \circ \rho_n})$를 계산하고, 무한소적 군비를 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전하고 유한체적, 하나의 쿠스를 가진 하이퍼볼릭 3차원 다면체에서 $k \geq 1$일 때, 휘어진 코homology $H^*(M; E_{\rho_{2k}})$는 소멸하는가?
• RQ2 다양체의 경계 성분이 다양한 종수를 가진 위상적으로 유한하고 비원소적인 하이퍼볼릭 3차원 다면체에서, 첫 번째 코homology 군 $H^1(M; E_{\mathrm{Ad} \circ \rho_n})$의 차원은 얼마인가?
• RQ3 특성 $\chi_{\rho_n}$은 특성 다양체 $X(M, \mathrm{SL}(n,\mathbb{C}))$에서 매끄러운 점이며, 접선 공간이 $H^1(M; E_{\mathrm{Ad} \circ \rho_n})$와 동형인가?
• RQ4 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$에서 $\rho_n$의 비자명한 무한소 변형 중 경계에 제한했을 때도 여전히 비자명하고, $L^2$ 표현을 갖지 않는가?
• RQ5 경계 $\partial\overline{M}$의 코homology는 $\rho_n$에 의해 휘어진 다면체 $M$의 코homology와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 완전하고 비원소적이며 위상적으로 유한한 하이퍼볼릭 3차원 다면체 $M$에 대해, 포함사상 $\partial\overline{M} \hookrightarrow \overline{M}$은 $H^1(M; E_{\rho_n}) \hookrightarrow H^1(\partial\overline{M}; E_{\rho_n})$를 단사로 유도하며, $\dim H^1(M; E_{\rho_n}) = \frac{1}{2} \dim H^1(\partial\overline{M}; E_{\rho_n})$임을 만족한다.
• 유한체적이고 하나의 쿠스를 가진 $M$에 대해, 모든 $k \geq 1$에 대해 $H^*(M; E_{\rho_{2k}}) = 0$임을 보였으며, 이는 $S^3$에서의 하이퍼볼릭 루프 외부에 적용된다.
• 첨부된 다발에 대한 첫 번째 코homology의 차원은 $\dim H^1(M; E_{\mathrm{Ad} \circ \rho_n}) = k(n-1) + \sum_{i=1}^l (g_i - 1)(n^2 - 1)$이며, 여기서 $k$는 토러스 경계 성분의 수이고 $g_i \geq 2$는 고차수 성분의 종수이다.
• 만약 $M$이 닫혀 있다면, $H^1(M; E_{\mathrm{Ad} \circ \rho_n}) = 0$이며, 이는 Weil과 Garland의 군비 정리를 고차원 $n$으로 일반화한다.
• $H^1(M; E_{\mathrm{Ad} \circ \rho_n})$에 속한 모든 비자명한 원소들은 $H^1(\partial\overline{M}; E_{\mathrm{Ad} \circ \rho_n})$에서도 비자명하며, $\ell^2$ 표현을 갖지 않는다.
• 특성 $\chi_{\rho_n}$는 특성 다양체 $X(M, \mathrm{SL}(n,\mathbb{C}))$에서 매끄러운 점이며, 접선 공간이 $H^1(M; E_{\mathrm{Ad} \circ \rho_n})$와 동형이며, 이는 Kapovich의 $n=2$ 결과를 일반화한다.