[논문 리뷰] Twisted conjugacy classes of automorphisms of Baumslag-Solitar groups

Alexander Fel’shtyn, Daciberg Lima Gonçalves|ArXiv.org|2004. 05. 31.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 18인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 $|m| \neq |n|$ 또는 $|m| = |n| > 1$ 인 경우이면서 $mn = -1$ 인 경우, Baumslag-Solitar 군 $B(m,n)$ 의 모든 자기동형사상이 무한한 Reidemeister 수를 가짐을 입증하며, 이는 이 계열의 군에 대해 Fel’shtyn과 Hill의 추측을 확인한다. 증명은 몫군에 유도된 자기동형사상의 분석과 자유군의 자기환원형의 성질을 활용한다.

ABSTRACT

Let $ϕ:G o G$ be a group endomorphism where $G$ is a finitely generated group of exponential growth, and denote by $R(ϕ)$ the number of twisted $ϕ$-conjugacy classes. Fel'shtyn and Hill \cite{fel-hill} conjectured that if $ϕ$ is injective, then $R(ϕ)$ is infinite. This conjecture is true for automorphisms of non-elementary Gromov hyperbolic groups, see \cite{ll} and \cite {fel:1}. It was showed in \cite {gw:2} that the conjecture does not hold in general. Nevertheless in this paper, we show that the conjecture holds for the Baumslag-Solitar groups $B(m,n)$, where either $|m|$ or $|n|$ is greater than 1 and $|m| e |n|$. We also show that in the cases where $|m|=|n|>1$ or $mn=-1$ the conjecture is true for automorphisms. In addition, we derive few results about the coincidence Reidemeister number.

연구 동기 및 목표

• 유한 생성 군이 지수적 성장을 가지며 단사 내면형사상이 존재할 경우 무한한 Reidemeister 수를 가진다는 추측을 확인하는 것, 특히 Baumslag-Solitar 군에 대해 적용하는 것.
• $m,n$ 의 어떤 값들에 대해 $B(m,n)$ 의 자기동형사상 하에서 Reidemeister 수 $R(\phi)$ 가 무한한지 규명하는 것.
• 단사 내면형사상 쌍에 대한 공액관계가 무한한 Reidemeister 수를 가지는지 분석을 확장하는 것.
• 몫군과 유도된 준동형사상이 비틀린 쌍대류의 무한성을 증명하는 데서 수행하는 역할을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 모든 $m,n \neq 0$ 에 대해 $B(m,n) = \langle a,b \mid a^{-1}b^m a = b^n \rangle$ 의 구조를 분석한다.
• 단사 내면형사상이 $|m| \neq |n|$ 인 경우, $F \rtimes \mathbb{Z}_k$ 와 동형인 몫군에 자기동형사상을 유도한다는 사실을 이용한다.
• 특히 유한 계수 자유군의 단사 내면형사상이 무한한 Reidemeister 수를 유도한다는 결과를 적용한다.
• 문제를 몫군에 대한 유도된 사상 분석으로 환원하고, 자동형사상 하에서 특정 부분군의 불변성을 이용한다.
• 짧은 정확한 수열과 몰입군 분석을 통해 핵으로부터 전체 군으로 성질를 전달한다.
• 자기동형사상에 대한 자유군의 특성 부분군에 관한 보조정리 2.4 를 적용하여 $R(\phi)$ 의 무한성을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $B(m,n)$ 의 자기동형사상이 $|m| \neq |n|$ 일 때 무한한 Reidemeister 수를 갖는가?
• RQ2 $|m| > 1$ 인 $B(m,m)$ 의 자기동형사상의 Reidemeister 수는 무엇인가?
• RQ3 $|m| \neq |n|$ 인 경우, $B(m,n)$ 의 단사 내면형사상 쌍에 대해 공액관계가 무한한 Reidemeister 수를 갖는가?
• RQ4 자기동형사상에 대한 결과를 $B(m,n)$ 의 단사 내면형사상으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 $|m| > 1$ 인 $B(m,m)$ 의 단사 내면형사상 쌍에 대해 공액관계가 무한한 Reidemeister 수를 갖는가?

주요 결과

• $|m| \neq |n|$ 이며 $mn \neq 0$ 인 경우, $B(m,n)$ 의 모든 단사 내면형사상은 무한한 Reidemeister 수를 가진다.
• $|m| = |n| > 1$ 인 경우, $B(m,n)$ 의 모든 자기동형사상은 무한한 Reidemeister 수를 가진다.
• $mn = -1$ 인 경우, $B(m,n)$ 의 모든 자기동형사상은 무한한 Reidemeister 수를 가진다.
• $|m| \neq |n|$ 이며 $mn \neq 0$ 인 경우, $B(m,n)$ 의 임의의 단사 내면형사상 쌍에 대해 공액관계 Reidemeister 수는 무한하다.
• $B(m,m)$ 의 자기동형사상에 대한 결과는 유한 계수 자유군의 단사 내면형사상이 무한한 Reidemeister 수를 유도한다는 가정에 의존하며, 이는 일반적인 경우에 아직 증명되지 않은 상태이다.
• 증명 기법은 문제를 $F \rtimes \mathbb{Z}_k$ 의 유도된 사상 분석으로 환원하며, 여기서 $F$ 는 유한 계수 자유군이며, 자동형사상 하에서 특정 부분군의 불변성을 이용한다.