[논문 리뷰] Twisted conjugacy in free groups and Makanin's question

Valerij G. Bardakov, L. A. Bokut외 1명|ArXiv.org|2004. 01. 26.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 9인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 자유군에서 자명한 내부 자명사상의 일부인 내부 자명사상에 대해 마카닌의 비틀린 쌍대환류 문제에 대한 알고리즘적 해결책을 제공한다. 즉, 어떤 0이 아닌 거듭제곱이 내부 자명사상인 자명사상에 대해, $\varphi(X)U = VX$의 해가 존재하는지 여부를 결정할 수 있음을 증명한다. 저자들은 $\varphi$-비틀린 환류에 대한 유한한 정규형 집합을 구성하고, 사전순 최소화를 사용함으로써, $\varphi^m \in \text{Inn}(F_n)$ 인 경우 $F_n$ 내에서 방정정식 $\varphi(X)U = VX$의 해가 존재하는지 여부가 결정 가능하다는 것을 증명한다. 주요 기여는 이러한 자명사상 클래스에 대해 구축된 결정적 절차이다.

ABSTRACT

We discuss the following question of G. Makanin from ``Kourovka notebook'': does there exist an algorithm to determine is for an arbitrary pair of words $U$ and $V$ of a free group $F_n$ and an arbitrary automorphism $ϕ\in Aut(F_n)$ the equation $ϕ(X) U = V X$ solvable in $F_n$? We give the affirmative answer in the case when an automorphism is virtually inner, i.e. some its non-zero power is an inner automorphism of $F_n$.

연구 동기 및 목표

• 자유군 $F_n$ 내에서 임의의 자명사상 $\varphi$ 에 대해 방정식 $\varphi(X)U = VX$ 의 해가 존재하는지 여부를 결정할 수 있는지에 대한 고려 사항을 해결한다.
• 자유군에서 쌍대환류 문제의 해법을 거의 내부 자명사상에 대해 비틀린 쌍대환류 설정으로 확장한다.
• 자유군 $F_n$ 내에서 $\varphi^m \in \text{Inn}(F_n)$ 인 경우에 대해 방정식 $\varphi(X)U = VX$ 의 해가 존재하는지 여부를 판단하는 알고리즘 절차를 구축한다.
• 자유군 내에서 거의 내부 자명사상 조건 하에 $\varphi$-비틀린 환류에 대한 정규형을 정의하고 이를 활용한다.

제안 방법

• 클래식한 환류를 일반화하기 위해, $\varphi$-비틀린 환류를 $W \sim_{\varphi} W'$ 이라 정의한다. 즉, 어떤 $W$ 에 대해 $\varphi(W')U = VW$ 를 만족할 때를 의미한다.
• 모든 단어 $W$ 의 집합 $D(V)$ 를 정의한다. 이는 $V$ 와 $\varphi$-비틀린 환류 관계를 맺는다. 그리고 거의 내부 자명사상일 경우 이 집합이 유한하다는 것을 증명한다.
• 단어의 초기 및 종료 부분에 대한 $\varphi$-이동을 사용하여 등가 표현을 생성하는 감소 과정을 구성한다.
• $\varphi$-감소형 및 순환적 $\varphi$-감소형 단어를 정의하여 중복 표현을 제거하고 유한성을 보장한다.
• 감소형 단어에 대해 사전순 순서를 적용하여 유일한 최소 표현을 선택한다. 이를 정규 $\varphi$-비틀린 환류 형태 $\overline{V}$ 라고 한다.
• 두 원소 $U$ 와 $V$ 가 $\varphi$-비틀린 환류 관계에 있을 때이고, 그 정규형 $\overline{U}$ 와 $\overline{V}$ 가 정확히 동일할 때에만 해당 관계가 성립함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유군 $F_n$ 내에서 임의의 $U, V \in F_n$ 와 $\varphi \in \text{Aut}(F_n)$ 에 대해 방정식 $\varphi(X)U = VX$ 가 해를 갖는지 여부를 결정할 수 있는 알고리즘이 존재하는가?
• RQ2 자기 자신이 거의 내부 자명사상인 경우, 즉 $\varphi^m \in \text{Inn}(F_n)$ 인 경우, 비틀린 쌍대환류 문제가 결정 가능해지는가?
• RQ3 자유군 내에서 거의 내부 자명사상 조건 하에 $\varphi$-비틀린 환류 클래스에 대해 정규형을 구성할 수 있는가?
• RQ4 비틀린 쌍대환류 방정식의 해가 존재하는지 여부는 입력 단어의 정규형이 동일한지 여부와 동치인가?

주요 결과

• 자유군 $F_n$ 내에서 $\varphi^m \in \text{Inn}(F_n)$ 인 모든 자명사상 $\varphi$ 에 대해 비틀린 쌍대환류 문제가 결정 가능하다.
• 자기 자신이 거의 내부 자명사상일 경우, 단어 $V$ 의 모든 $\varphi$-비틀린 환류 $D(V)$ 는 유한하다.
• 각 $V$ 에 대해 사전순 최소화를 통해 생성된 고유한 정규 $\varphi$-비틀린 환류 형태 $\overline{V}$ 가 존재한다.
• 두 원소 $U$ 와 $V$ 가 $\varphi$-비틀린 환류 관계에 있을 때이고, 그 정규형 $\overline{U}$ 와 $\overline{V}$ 가 정확히 동일할 때에만 해당 관계가 성립한다.
• 알고리즘 절차는 $\varphi$-이동과 감소를 사용하여 $D(V)$ 내의 가능한 모든 표현을 생성하며, 이는 종료 보장이 있다.
• 해결 방법은 거의 내부 자명사상 조건 하에서 자유군의 고전적 환류 알고리즘을 비틀린 경우로 일반화한다.