[논문 리뷰] Twisted Dedekind Type Sums Associated with Barnes' Type Multiple Frobenius-Euler l-Functions

Mehmet Cenkci, Yılmaz Şimşek외 2명|arXiv (Cornell University)|2007. 11. 05.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 37인용 수 70

한 줄 요약

이 논문은 Barnes 형 다중 프로비니우스-유클리드 $ l $-함수를 사용하여 새로운 비틀린 Dedekind-형 합을 도입하고, 생성함수 및 $ p $-진 $ q $-볼켄본 적분을 통해 그 상호법칙을 도출한다. 주요 기여는 프로비니우스-유클리드 다항식과 딜라이트 캐릭터를 포함하는 합에 대한 일반화된 상호법칙으로, 고전적 Dedekind 합 이론을 비틀린 및 고차 설정으로 확장하며, $ p $-진 $ L $-함수와 하디-버나드 타입 합에의 적용을 포함한다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to construct new Dedekind type sums. We construct generating functions of Barnes' type multiple Frobenius-Euler numbers and polynomials. By applying Mellin transformation to these functions, we define Barnes' type multiple l-functions, which interpolate Frobenius-Euler numbers at negative integers. By using generalizations of the Frobenius-Euler functions, we define generalized Dedekind type sums and prove corresponding reciprocity law. We also give twisted versions of the Frobenius-Euler polynomials and new Dedekind type sums and corresponding reciprocity law. Furthermore, by using p-adic q-Volkenborn integral and twisted (h,q)-Bernoulli functions, we construct p-adic (h,q)-higher order Dedekind type sums. By using relation between Bernoulli and Frobenius-Euler functions, we also define analogues of Hardy-Berndt type sums. We give some new relations related to to these sums as well.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 프로비니우스-유클리드 함수와 비틀린 $ l $-함수를 사용하여 새로운 Dedekind-형 합을 정의한다.
• 이 합들에 대한 상호법칙을 수립하여 고전적 결과를 고차 및 비틀린 설정으로 확장한다.
• 프로비니우스-유클리드 다항식을 $ p $-진 $ q $-볼켄본 적분과 연결하고, $ p $-진 $ (h,q) $-고차 Dedekind 합을 도출한다.
• 프로비니우스-유클리드 프레임워크에서 하디-버나드 타입 합의 유사체를 구성하고 기존 산술 합과의 관계를 규명한다.
• 칼리츠, 오타, 나가사카 등 기존 유형과의 차이를 보여주며 기능적 및 대수적 구조의 독특함을 입증한다.

제안 방법

• Barnes 형 다중 프로비니우스-유클리드 수와 다항식의 생성함수를 구성한다.
• 이 생성함수에 메린 변환을 적용하여 음의 정수에서 프로비니우스-유클리드 수를 보간하는 Barnes 형 다중 $ l $-함수를 정의한다.
• 프로비니우스-유클리드 함수 $ \bar{H}_n(x,u) $ 와 $ u \neq 1 $ 인 대수적 매개변수를 사용하여 비틀린 Dedekind-형 합 $ S_{n,u}(h,k) $ 를 정의한다.
• 이항 전개와 프로비니우스-유클리드 수 $ H_n(u) $ 의 성질을 조합하여 $ S_{n,u}(h,k) $ 의 상호법칙을 도출한다.
• 디라이트 캐릭터 $ \chi $ 를 사용하여 캐릭터-비틀린 합 $ S_{n,u^k}(h,k|\chi) $ 를 정의하고, $ H_{n,\chi}(u) $ 를 포함하는 일반화된 상호법칙을 증명한다.
• $ p $-진 $ q $-볼켄본 적분을 사용하여 $ p $-진 $ (h,q) $-고차 Dedekind 합을 정의하고, 베르누이 및 프로비니우스-유클리드 함수와의 관계를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 프로비니우스-유클리드 함수를 사용하여 비틀린 Dedekind-형 합을 정의할 수 있으며, 그 해석적 성질은 무엇인가?
• RQ2 이 새로운 합에 대한 상호법칙의 형태는 무엇이며, 고전적 Dedekind 합 상호법칙을 어떻게 일반화하는가?
• RQ3 캐릭터-비틀린 합 $ S_{n,u^k}(h,k|\chi) $ 는 $ p $-진 $ L $-함수와 프로비니우스-유클리드 형 $ l $-함수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 제안된 합은 칼리츠, 아포스톨, 또는 오타 형 합과 어떤 방식으로 다를까?
• RQ5 프로비니우스-유클리드 함수에서 하디-버나드 타입 합의 유사체를 구성할 수 있으며, 기존 산술 합과의 관계는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 비틀린 Dedekind 합 $ S_{n,u}(h,k) $ 에 대한 새로운 상호법칙이 수립되었으며, $ k^n S_{n,u^k}(h,k) $ 와 $ h^n S_{n,u^h}(k,h) $ 의 대칭 조합을 포함하고, 프로비니우스-유클리드 수 $ H_j(u^k) $ 와 $ H_{n-j}(u^h) $ 의 명시적 항이 포함되어 있다.
• 캐릭터-비틀린 합 $ S_{n,u^k}(h,k|\chi) $ 는 $ H_{n+1,\chi}(u) $ 를 포함하는 항과 캐릭터 가중치가 부여된 프로비니우스-유클리드 함수에 대한 $ a,b $ 에 대한 이중 합을 포함하는 상호법칙을 만족한다.
• 일 때 $ u = -1 $ 이면, 합 $ S_{n,-1}(h,k) $ 는 베르누이 함수 $ \overline{B}_{n+1}(x) $ 를 통해 표현되며, 하드-버나드 타입 합 $ HB_{n,0}(h,k) $ 와 $ HB_{n,1}(h,k) $ 의 새로운 유사체를 이룬다.
• 홀수 $ k $ 에 대해, $ h $ 의 특정한 기수 조건 하에서, 합 $ HB_{n,0}(h,k) $ 와 $ HB_{n,1}(h,k) $ 는 알려진 버나드 타입 합 $ s_{n+1}(h,k) $ 와 $ s_{n+1}(h,2k) $ 와 일치함을 보였다.
• 제안된 합은 칼리츠 형 또는 오타 형 Dedekind 합과 다름을 보이며, 프로비니우스-유클리드 수가 아닌 프로비니우스-유클리드 함수에 기반하기 때문이다.
• $ p $-진 $ q $-볼켄본 적분을 통한 구성은 $ p $-진 $ (h,q) $-고차 Dedekind 합을 이끌어내며, 이는 $ p $-진 $ L $-함수와 $ q $-특수함수와 연결된다.