[논문 리뷰] Twistings of KR for Real groupoids

El-kaïoum M. Moutuou|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 31.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 실수 구조를 가진 군oids에 대한 아티야의 KR-이론을 실수 그룹화된 딕스미에르-두아르(bundle)로 일반화한 휘어진 KR-이론을 제안한다. 이는 군oids에 대한 복소수 B-장으로 정의되며, 실수 그룹화된 브라우어 군 $\widehat{\mathrm{BrR}}_\ast(\mathcal{G})$를 구성하고, 군oids에 대한 등변 체흐(cohomology)와의 대응관계를 확립함으로써, 시간 역전 대칭을 가진 스파티오타임과 오리엔티폴드에서의 D-브레인 전하를 일반화하는 휘어진 KR-이론 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

B-fields over a groupoid with involution are defined as Real graded Dixmier-Douady bundles. We use these to introduce the Real graded Brauer group which constitutes the set of twistings for Atiyah's KR-functor in the category of locally compact groupoids with involutions. We interpret this group in terms of groupoid extensions and elements of some equivariant Cech cohomology theory. The construction of the twisted KR-functor is outlined.

연구 동기 및 목표

• 실수 구조와 B-장이 존재하는 상황에서 휘어진 K-이론을 실수 그룹oids로 일반화하기 위해.
• 실수 그룹oids에 대한 실수 그룹화된 딕스미에르-두아르(bundle)를 B-장으로 정의하기 위해.
• 아티야의 KR-함수를 위한 휘어진 구조로 실수 그룹화된 브라우어 군 $\widehat{\mathrm{BrR}}_\ast(\mathcal{G})$를 구성하기 위해.
• 이 휘어진 구조들이 군oids의 확장과 등변 체흐(cohomology)와 어떻게 관련되는지 밝히기 위해.
• 오리엔티폴드와 시간 역전 대칭을 가진 시공간에서 휘어진 KR-이론의 기하학적 및 대수적 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 실수 구조를 가진 군oids를 정의한다. 이는 $\tau^2 = \mathrm{id}$ 를 만족하는 엄격한 인벌루션 $\tau$ 를 갖는 군oids로, 실수 공간의 일반화이다.
• B-장에 대한 기하적 실현으로서 실수 그룹화된 딕스미에르-두아르(bundle)를 도입한다.
• 이러한 백업들에 대한 동형류의 집합으로서 실수 그룹화된 브라우어 군 $\widehat{\mathrm{BrR}}_\ast(\mathcal{G})$를 구성한다.
• 군oids에 대한 등변 체흐(cohomology) 이론과의 대응관계를 통해 휘어진 구조를 규명한다.
• 비아벨리안 확장과 군oids의 준동형을 사용하여 컴팩트 연산자에 대한 실수 그룹화된 대수의 실수 구조를 분류한다.
• 실수 그룹oids $\mathcal{A} \in \widehat{\mathrm{BrR}}_\ast(\mathcal{G})$에 대해 휘어진 KR-이론 $KR^\ast_\mathcal{A}(\mathcal{G})$를 정의하고, 이와 등변 프레드홀름 연산자 및 $\widehat{\mathrm{PU}}(\hat{\mathcal{H}})$로의 일반화된 준동형 사이의 관계를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 B-장과 인벌루션의 존재 속에서 휘어진 KR-이론을 실수 그룹oids로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 실수 그룹oids와 그룹화된 대수, 인벌루션을 고려할 때 브라우어 군의 적절한 일반화는 무엇인가?
• RQ3 실수 그룹oids의 확장과 등변 코homology는 KR-이론의 휘어진 구조를 어떻게 분류하는가?
• RQ4 군oids 위의 실수 그룹화된 딕스미에르-두아르(bundle)의 기하학적 및 대수적 구조는 어떠한가?
• RQ5 오리엔티폴드 그룹oids에 대한 휘어진 KR-이론은 등변 프레드홀름 연산자와 일반화된 준동형과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 실수 그룹화된 브라우어 군 $\widehat{\mathrm{BrR}}_\ast(\mathcal{G})$는 국소적으로 컴acts한 실수 그룹oids에서 아티야의 KR-함수의 휘어진 구조를 분류한다.
• 휘어진 구조는 실수 그룹화된 딕스미에르-두아르(bundle)와 동치이며, 이는 등변 체흐(cohomology) 클래스로 분류된다.
• 오리엔티폴드 그룹oids $X \rtimes G$의 경우, 휘어진 KR-이론은 $\widehat{\mathrm{PU}}(\hat{\mathcal{H}})_n$-등변 사상 공간 $[P^{(n)}/G, \hat{\mathscr{F}}^n]^{{\widehat{\mathrm{PU}}}(\hat{\mathcal{H}})_n}_R$ 와 동형이 되며, 이는 구체적인 기하학적 모델을 제공한다.
• 실수 복소 K-이론 $K^{-j}_\mathcal{A}(\mathcal{G}) \otimes \mathbb{Z}[1/2]$ 는 2를 역수로 취한 후 $KR^{-j}_\mathcal{A}(\mathcal{G}) \oplus KR^{-j-2}_\mathcal{A}(\mathcal{G})$ 로 분해된다.
• 실수 공간 $\mathbf{S}^{0,1}$ 에서는 $\widehat{\mathrm{BrR}}(\mathbf{S}^{0,1}) \cong \mathbb{Z}_2$ 이며, $q-p-i \equiv 0 \mod 2$ 일 때는 휘어진 KR-이론 군이 $\mathbb{Z}$, 그 외에는 0이다.
• 실수 구조가 자명할 경우 이 구성은 일반적인 휘어진 복소 K-이론을 회복하며, 비고정 성분 $\mathcal{G}_1$ 에 대해 $\widehat{\mathrm{BrR}}_\ast(\mathcal{G}) \cong \widehat{\mathrm{Br}}_\ast(\mathcal{G}_1)$ 이다.