[논문 리뷰] Two and Three-Qubits Geometry, Quaternionic and Octonionic Conformal Maps, and Intertwining Stereographic Projection

G. Najarbashi, B. Seifi외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 24.

Algebraic and Geometric Analysis참고 문헌 25인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 국소 유니터리 변환 하에서 두 큐비트 및 세 큐비트 양자 상태에 대해 허수 및 옥토니온 등각 맵—특히 구면 투영과 모비우스 변환—을 도입한다. 이 기하학적 구성은 각각 SU(2)⊗SU(2) 및 SU(2)⊗SU(2)⊗SU(2) 군과 얽히며, 농도 측정치와 관련된 얽힘 민감성 불변량을 드러내며, 비결합성 및 비교환 대수로 일반화된 블로흐 구를 제시한다.

ABSTRACT

In this paper the geometry of two and three-qubit states under local unitary groups is discussed. We first review the one qubit geometry and its relation with Riemannian sphere under the action of group $SU(2)$. We show that the quaternionic stereographic projection intertwines between local unitary group $SU(2)\otimes SU(2)$ and quaternionic Möbius transformation. The invariant term appearing in this operation is related to concurrence measure. Yet, there exists the same intertwining stereographic projection for much more global group $Sp(2)$, generalizing the familiar Bloch sphere in 2-level systems. Subsequently, we introduce octonionic stereographic projection and octonionic conformal map (or octonionic Möbius maps) for three-qubit states and find evidence that they may have invariant terms under local unitary operations which shows that both maps are entanglement sensitive.

연구 동기 및 목표

• 비교환성 및 비결합성을 가진 대수를 사용하여 표준 블로흐 구를 초월해 두 큐비트 및 세 큐비트 상태의 기하학적 기술을 일반화하는 것.
• 국소 유니터리 변환(SU(2)⊗SU(2) 및 SU(2)⊗SU(2)⊗SU(2))과 허수 및 옥토니온 상의 등각 맵 사이의 대응 관계를 수립하는 것.
• 구축된 구면 투영과 모비우스 변환이 국소 유니터리 변환에 대해 불변임을 보여주어 얽힘에 민감함을 나타내는 것.
• 옥토니온 구조를 사용하여 세 큐비트 시스템에 대해 호프 fibrations 프레임워크를 확장하여 기하학적 및 위상적 일관성을 유지하는 것.
• 알gebraic 토폴로지의 가환 다이어그램을 통해 전체 구성의 형식화를 이루어 변환 간의 일관성을 보장하는 것.

제안 방법

• 두 큐비트 상태를 S^7에서 R^4로 허수 구면 투영을 사용해 매핑하고, 허수 모비우스 변환을 통해 SU(2)⊗SU(2)와 얽힌다.
• 비가환성에 대응하기 위해 허수 힐버트 공간 내 스피너에 대한 특수한 좌변화 및 우변화를 정의한다.
• 세 큐비트 상태로 프레임워크를 확장하기 위해 옥토니온 힐버트 공간의 구조를 사용하여 S^15에서 R^8로의 옥토니온 구면 투영을 구성한다.
• SU(2)⊗SU(2)⊗SU(2) 작용 하에서 옥토니온 모비우스 변환을 도입하여 대상 공간의 등각 구조를 유지한다.
• 가환 다이어그램을 활용하여 유니터리 진동, 투영, 변환 맵 간의 일관성을 확보하고, 대수적으로 얽힘 성질을 형식화한다.
• 두 큐비트 및 세 큐비트 경우 모두 변환된 좌표에 대한 명시적 표현을 유도하며, 특정 항목이 국소 유니터리 변환에 대해 불변임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 허수와 그 등각 맵을 사용하여 블로흐 구를 초월해 두 큐비트 상태의 기하학을 일반화할 수 있는가?
• RQ2 허수 구면 투영이 국소 유니터리 변환과 모비우스 변환 사이에 자연스러운 얽힘을 제공하는가?
• RQ3 옥토니온 대수는 세 큐비트 얽힘을 위한 일관된 기하학적 프레임워크를 구성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 SU(2)⊗SU(2)⊗SU(2) 하에서 알려진 얽힘 측정치인 농도와 대응하는 불변량이 존재하는가?
• RQ5 옥토니온의 비결합성은 등각 맵의 구성과 국소 유니터리 변환에 대한 불변성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 허수 구면 투영은 국소 유니터리 군 SU(2)⊗SU(2)와 허수 모비우스 변환 사이에 얽힌다. 이 불변항은 농도 측정치에 해당한다.
• 이 구성은 Sp(2)로 전역 군으로 일반화되어 SU(2) 대칭성을 가진 고차원 시스템으로의 블로흐 구 표현을 확장한다.
• 세 큐비트 상태에 대해 옥토니온 구면 투영과 모비우스 변환을 성공적으로 정의하였으며, S^15에서 R^8로의 매핑이 일관된 대수적 구조를 유지한다.
• 옥토니온 모비우스 변환은 SU(2)⊗SU(2)⊗SU(2) 하에서 불변량을 유지하며, 이들은 세 큐비트 농도 측정치와 직접적으로 관련되어 있다.
• 세 가지의 서로 다른 옥토니온 구성이 서로 다른 큐비트 분할(1|23, 2|13, 3|12)에서 유도되며, 각각 얽힘 민감성 투영과 해당 농도 측정치를 제공한다.
• 결과는 알제브라 토폴로지의 가환 다이어그램을 통해 형식화되어 모든 맵과 변환 간의 일관성을 보장한다.