[논문 리뷰] Two-colored noncommutative Gerstenhaber formality and infinity Duflo isomorphism

Johan Alm|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 12.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 15인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 리 대수 $\mathfrak{g}$ 의 대칭 대수 $S(\mathfrak{g})$ 와 유니버설 포괄 대수 $U(\mathfrak{g})$ 의 체바르리에프-일리엔버그 코호몰로지 대수 사이에 명시적인 $A_\infty$ 준동형을 구성한다. 이는 두 대수 간의 Duflo-Kontsevich 준동형을 일반화한다. 새로운 삼색 구성공간 오퍼레이드 $\overline{CF}(\mathbf{H})$ 를 사용하여, Kontsevich의 형식성 구조를 삼색 비가환 게르스텐하버 호모토피 대수 간의 준동형으로 확장하며, 다항벡터장의 호모토피 도함수 작용을 포함한다.

ABSTRACT

Using new configuration spaces, we give an explicit construction that extends Kontsevich's Lie-infinity quasi-isomorphism from polyvector fields to Hochschild cochains to a quasi-isomorphism of A-infinity algebras equipped with actions by homotopy derivations of the Lie algebra of polyvector fields. One may term this formality a formality of two-colored noncommutative Gerstenhaber homotopy algebras. In our result the action of polyvector fields by homotopy derivations of the wedge product on polyvector fields is not the adjoint action by the Schouten bracket, but a homotopy nontrivial and, in a sense, unique deformation of that action. As an application we give an explicit Duflo-type construction for Lie-infinity algebras that generalizes the Duflo-Kontsevich isomorphism between the Chevalley-Eilenberg cohomology of the symmetric algebra on a Lie algebra and the Chevalley-Eilenberg cohomology of the universal enveloping algebra of the Lie algebra.

연구 동기 및 목표

• Kontsevich의 $L_\infty$ 형식성 사상이 다항벡터장의 리 대수의 호모토피 도함수 작용을 지닌 $A_\infty$ 대수 간의 준동형으로 확장되는가를 연구한다.
• 리-인finity 대수를 위한 Duflo 준동형의 강한 호모토피 판본을 구성하여, $S(\mathfrak{g})$ 와 $U(\mathfrak{g})$ 의 체바르리에프-일리엔버그 코호몰로지 간의 Duflo-Kontsevich 준동형을 일반화한다.
• Duflo-Kontsevich 준동형이 표준적인 체바르리에프-일리엔버그 코호몰로지 대수 $C(\mathfrak{g}, S(\mathfrak{g}))$ 와 $C(\mathfrak{g}, U(\mathfrak{g}))$ 사이의 $A_\infty$ 준동형으로 일반적으로 올라가지 못하는가를 보인다.
• 경계에 평행한 직선을 가진 상반평면 내 점들의 콤파クト화된 구성공간을 모델링하는 삼색 오퍼레이드 $\overline{CF}(\mathbf{H})$ 를 도입하여, 정교화된 형식성 구조를 가능하게 한다.

제안 방법

• 상반평면 내 경계에 평행한 직선을 가진 점들의 콤파クト화된 구성공간을 모델로 하는 새로운 삼색 오퍼레이드 $\overline{CF}(\mathbf{H})$ 를 도입하며, 이는 Kontsevich의 $\overline{C}(\mathbf{H})$ 를 일반화한다.
• 기본 체인을 통해 $\mathcal{K}(\overline{CF}(\mathbf{H})) \to \mathrm{End}(T_{\text{poly}}, T_{\text{poly}}, \mathcal{O})$ 의 표현을 구성하여, 삼색 비가환 $G_\infty$ 대수 간의 형식성 자료를 암호화한다.
• Kontsevich가 사용한 동일한 기법을 사용하여, $T_{\text{poly}} \to C^\bullet(T_{\text{poly}}, T_{\text{poly}})$ 의 $L_\infty$ 사상을 정의하고, 수반 작용을 확장하며, $T_{\text{poly}} \to C^\bullet(\mathcal{O}, \mathcal{O})$ 의 $A_\infty$ 대수 간의 호모토피 도함수 작용을 갖는 사상도 정의한다.
• 체바르리에프-일리엔버그 코호몰로지 대수 $C(\mathfrak{g}, S(\mathfrak{g}))$ 의 일반적이고 일반적으로 호모토피 비자명한 $A_\infty$ 변형인 $C(\mathfrak{g}, S(\mathfrak{g}))_{\text{exotic}}$ 를 정의하며, 이는 코호몰로지에서 Duflo-Kontsevich 준동형을 유지한다.
• 코호몰로지에서 Duflo-Kontsevich 준동형을 유도하는 $A_\infty$ 준동형 $C(\mathfrak{g}, S(\mathfrak{g}))_{\text{exotic}} \to C(\mathfrak{g}, U(\mathfrak{g}))$ 를 확립한다.
• 형식성 사상 $f: \mathcal{NCG}_\infty \to \mathcal{P}$ 의 변형 복합체 $\mathrm{Def}(f)$ 를 분석하며, 리 대수와 결합 구조 및 그 상호작용을 오퍼레이드 도함수를 통해 구성요소로 분해한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Kontsevich의 형식성 사상은 다항벡터장의 리 대수의 호모토피 도함수 작용을 지닌 $A_\infty$ 대수 간의 준동형으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 리-인finity 대수를 위한 Duflo 준동형의 강한 호모토피 판본이 존재하는가? 이는 $S(\mathfrak{g})$ 와 $U(\mathfrak{g})$ 의 체바르리에프-일리엔버그 코호몰로지 간의 Duflo-Kontsevich 준동형을 일반화한다.
• RQ3 Duflo-Kontsevich 준동형은 표준적인 체바르리에프-일리엔버그 코호몰로지 대수 $C(\mathfrak{g}, S(\mathfrak{g}))$ 와 $C(\mathfrak{g}, U(\mathfrak{g}))$ 사이의 $A_\infty$ 준동형으로 일반적으로 올라갈 수 있는가?
• RQ4 삼색 구성공간 오퍼레이드 $\overline{CF}(\mathbf{H})$ 는 삼색 비가환 게르스텐하버 호모토피 대수의 구조를 어떻게 암호화하는가?

주요 결과

• 논문은 코호몰로지에서 Duflo-Kontsevich 준동형을 유도하는 체바르리에프-일리엔버그 코호몰로지 대수 $C(\mathfrak{g}, S(\mathfrak{g}))_{\text{exotic}}$ 와 $C(\mathfrak{g}, U(\mathfrak{g}))$ 사이의 명시적인 $A_\infty$ 준동형을 구성한다.
• 비표준적인 변형 $C(\mathfrak{g}, S(\mathfrak{g}))_{\text{exotic}}$ 는 $C(\mathfrak{g}, S(\mathfrak{g}})$ 에 대한 일반적이고 일반적으로 호모토피 비자명한 $A_\infty$ 구조이며, 표준적인 미분가환대수 구조와 다르다.
• Duflo-Kontsevich 준동형은 일반적으로 표준적인 체바르리에프-일리엔버그 코호몰로지 대수 $C(\mathfrak{g}, S(\mathfrak{g}))$ 와 $C(\mathfrak{g}, U(\mathfrak{g}))$ 사이의 $A_\infty$ 준동형으로 올라가지 못한다. 이는 호모토피 구조의 비자명성으로 인해 발생한다.
• 삼색 오퍼레이드 $\overline{CF}(\mathbf{H})$ 는 삼색 비가환 게르스텐하버 호모토피 대수의 형식성에 기하학적 모델을 제공하며, Kontsevich의 원래 구성의 일반화이다.
• 다항벡터장의 작용은 슈아우텐 브라켓을 통한 수반 작용이 아니며, 이는 유일한 의미에서 호모토피 비자명한 변형이다.
• 형식성 사상 $f: \mathcal{NCG}_\infty \to \mathcal{P}$ 의 변형 복합체 $\mathrm{Def}(f)$ 는 체인 복합체로서 $\rho^f$ 의 사상의 매핑 콘의 구조와 동형이며, 그레이드 리 대수로서는 $\mathrm{Def}(\lambda^f) \ltimes \mathrm{Def}(\mu^f)$ 의 반직접곱과 동형이다.