[논문 리뷰] Two congruences involving harmonic numbers with applications

Guo-Shuai Mao, Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 28.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 소수 $ p > 3 $ 모듈로에서 조화수와 중심이항계수를 포함하는 두 개의 새로운 합동식을 확립하며, 이를 $ 1/3 $ 에서 평가된 베르누이 다항식과 연결한다. $ p $-진 전개의 성질과 조합 항등식을 사용하여, $ \frac{1}{p^2}\bigsum_{k=1}^{p-1} g_k $ 와 $ \frac{1}{p^2}\bigsum_{k=1}^{p-1} h_k $ 를 모듈로 $ p $ 로 명시적인 공식으로 유도한다. 여기서 $ g_k $ 와 $ h_k $ 는 이항계수와 카탈란 수의 곱의 합이다.

ABSTRACT

The harmonic numbers $H_n=\sum_{03$ be a prime. With helps of some combinatorial identities, we establish the following two new congruences: $$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{\binom{2k}k}kH_k\equiv\frac13\left(\frac p3 ight)B_{p-2}\left(\frac13 ight)\pmod{p}$$ and $$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{\binom{2k}k}kH_{2k}\equiv\frac7{12}\left(\frac p3 ight)B_{p-2}\left(\frac13 ight)\pmod{p},$$ where $B_n(x)$ denotes the Bernoulli polynomial of degree $n$. As an application, we determine $\sum_{n=1}^{p-1}g_n$ and $\sum_{n=1}^{p-1}h_n$ modulo $p^3$, where $$g_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k\quad\mbox{and}\quad h_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^2C_k$$ with $C_k=\binom{2k}k/(k+1)$.

연구 동기 및 목표

• 소수 $ p > 3 $ 에 대해 조화수 $ H_k $ 와 $ H_{2k} $ 를 $ \binom{2k}{k}/k $ 로 가중한 합동식을 모듈로 $ p $ 로 확립하기.
• 이 합동식을 베르누이 다항식 $ B_{p-2}(1/3) $ 와 연결하여 비자명한 산술적 구조를 드러내기.
• 이 합동식을 사용하여 $ \bigsum_{k=1}^{p-1} g_k $ 와 $ \bigsum_{k=1}^{p-1} h_k $ 를 모듈로 $ p^3 $ 로 계산하기. 여기서 $ g_k $ 와 $ h_k $ 는 아페리 유사 수열과 관련된 조합 수열이다.
• 조화수와 중심이항계수를 포함하는 합의 $ p $-진 행동에 대한 더 깊은 추측에 대한 증거를 제공하기.
• 기존의 월스텐홀름형 합동식을 새로운 조합 항등식을 사용하여 고차항으로 확장하기.

제안 방법

• 이항계수 $ \binom{2k}{k} $, 조화수 $ H_k $, $ H_{2k} $ 를 포함하는 조합 항등식을 사용하여 합동식을 유도하며, 특히 이항계수의 $ p $-진 전개를 활용한다.
• 항등식 $ (-1)^k \binom{p-1}{k} \not\to 1 - p H_k \bmod p^2 $ 를 사용하여 $ k $ 에 대한 합을 조화수 합과 연결한다.
• 모듈로 $ p^2 $ 에서 $ \bigsum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}{k} \bmod p^2 $ 와 모듈로 $ p^3 $ 에서 $ \bigsum_{k=1}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}}{k} \bmod p^3 $ 의 알려진 합동식을 기초 도구로 활용한다.
• $ g_k $ 와 $ h_k $ 를 이중 합으로 표현하여 $ \binom{n}{k}^2 $, $ \binom{2k}{k} $, 카탈란 수 $ C_k $ 를 포함하고, 합의 순서를 바꿔서 $ k $-의존 항을 분리한다.
• $ h_n = \bigint_0^1 g_n(x)\thinspace dx $ 인 적분 표현을 활용하여 $ h_k $ 와 $ g_k $-관련 생성함수 간의 관계를 설정한다. 여기서 $ g_n(x) = \bigsum_{j=0}^n \binom{n}{j}^2 \binom{2j}{j} x^j $ 이다.
• 항등식 $ \bigsum_{k=0}^{p-1} g_k(x)(1 - p^2 H_k^{(2)}) \bmod p^4 $ 를 사용하여 $ \bigsum h_k $ 와 $ \bigsum g_k $ 의 $ p $-진 전개를 유도하며, $ p $-진 제타 값과 베르누이 수에 대한 알려진 결과와 결합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소수 $ p > 3 $ 에 대해 $ \bigsum_{k=1}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}}{k} H_k \bmod p $ 의 $ p $-진 행동은 무엇인가?
• RQ2 합 $ \bigsum_{k=1}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}}{k} H_{2k} \bmod p $ 는 어떤 특별한 값의 베르누이 다항식으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 합 $ \bigsum_{k=1}^{p-1} g_k $ 와 $ \bigsum_{k=1}^{p-1} h_k $ 는 조화수 항등식을 사용하여 모듈로 $ p^3 $ 로 평가될 수 있는가? 여기서 $ g_k = \bigsum_{j=0}^k \binom{k}{j}^2 \binom{2j}{j} $ 이고 $ h_k = \bigsum_{j=0}^k \binom{k}{j}^2 C_j $ 이다.
• RQ4 합 $ \bigsum_{k=1}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}}{k} (4H_{2k} - 7H_k) $ 와 고차항 베르누이 수 또는 오일러 수 사이의 연결고리는 무엇인가?
• RQ5 $ g_n(x) $ 와 그 적분은 $ h_n $ 의 $ p $-진 구조와 어떻게 관련되어 있으며, 이는 모듈로 $ p^3 $ 의 합동식 유도에 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $ \bigsum_{k=1}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}}{k} H_k \bmod p $ 가 $ \frac{1}{3} \bigl( \frac{p}{3} \bigr) B_{p-2}\bigl( \frac{1}{3} \bigr) $ 와 합동임을 증명한다. 여기서 $ B_{p-2}(x) $ 는 베르누이 다항식이다.
• 이 논문은 $ \bigsum_{k=1}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}}{k} H_{2k} \bmod p $ 가 $ \frac{7}{12} \bigl( \frac{p}{3} \bigr) B_{p-2}\bigl( \frac{1}{3} \bigr) $ 와 합동임을 확립하여, 동일한 특별한 값의 베르누이 다항식과의 정확한 산술적 연결을 보여준다.
• 이 합동식들로부터, 저자들은 $ \frac{1}{p^2} \bigsum_{k=1}^{p-1} g_k \bmod p $ 가 $ \frac{5}{8} \bigl( \frac{p}{3} \bigr) B_{p-2}\bigl( \frac{1}{3} \bigr) $ 와 합동임을 유도하며, $ g_k $ 의 정규화된 합에 대한 $ p $-진 공식을 제공한다.
• $ \bigsum_{k=1}^{p-1} h_k \bmod p^3 $ 가 $ \frac{3}{4} p^2 \bigl( \frac{p}{3} \bigr) B_{p-2}\bigl( \frac{1}{3} \bigr) $ 와 합동임을 보여주어, 이전의 모듈로 $ p^2 $ 결과를 더 높은 정밀도로 확장한다.
• 논문은 $ \bigsum_{k=1}^{p-1} (2g_k - h_k) \bmod p^3 $ 가 $ \frac{1}{2} p^2 \bigl( \frac{p}{3} \bigr) B_{p-2}\bigl( \frac{1}{3} \bigr) $ 와 합동임을 확인하여 유도된 공식의 일관성을 뒷받침한다.
• 저자들은 $ \bigsum_{k=1}^{p-1} h_k (1 - p^2 H_k^{(2)}) \bmod p^3 $ 가 0과 합동임을 검증하여, $ h_k $-합의 $ p $-진 해석에서의 추측적 구조를 지지한다.